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Convex_Optimization_Stanford_课件全_.pdf
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更新于2023-03-16
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理论部分由4章构成,不仅涵盖了凸优化的所有基本概念和主要结果,还详细介绍了几类基本的凸优化问题以及将特殊的优化问题表述为凸优化问题的变换方法,这些内容对灵活运用凸优化知识解决实际问题非常有用。应用部分由3章构成,分别介绍凸优化在解决逼近与拟合、统计估计和几何关系分析这三类实际问题中的应用。算法部分也由3章构成,依次介绍求解无约束凸优化模型、等式约束凸优化模型以及包含不等式约束的凸优化模型的经典数值方法,以及如何利用凸优化理论分析这些方法的收敛性质。
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Convex Optimization — Boyd & Vandenberghe
1. Introduction
• mathematical optimization
• least-squares and linear programming
• convex optimization
• example
• course goals and topics
• nonlinear optimization
• brief history of convex optimization
1–1
Mathematical optimization
(mathematical) optimization problem
minimize f
0
(x)
subject to f
i
(x) ≤ b
i
, i = 1, . . . , m
• x = (x
1
, . . . , x
n
): optimization variables
• f
0
: R
n
→ R: objective function
• f
i
: R
n
→ R, i = 1, . . . , m: constraint functions
optimal solution x
?
has smallest value of f
0
among all vectors that
satisfy the constraints
Introduction 1–2
Examples
portfolio optimization
• variables: amounts invested in different assets
• constraints: budget, max./min. investment per asset, minimum return
• objective: overall risk or return variance
device sizing in electronic circuits
• variables: device widths and lengths
• constraints: manufacturing limits, timing requirements, maximum area
• objective: power consumption
data fitting
• variables: model parameters
• constraints: prior information, parameter limits
• objective: measure of misfit or prediction error
Introduction 1–3
Solving optimization problems
general optimization problem
• very difficult to solve
• methods involve some compromise, e.g., very long computation time, or
not always finding the solution
exceptions: certain problem classes can be solved efficiently and reliably
• least-squares problems
• linear programming problems
• convex optimization problems
Introduction 1–4
Least-squares
minimize kAx − bk
2
2
solving least-squares problems
• analytical solution: x
?
= (A
T
A)
−1
A
T
b
• reliable and efficient algorithms and software
• computation time proportional to n
2
k (A ∈ R
k×n
); less if structured
• a mature technology
using least-squares
• least-squares problems are easy to recognize
• a few standard techniques increase flexibility (e.g., including weights,
adding regularization terms)
Introduction 1–5
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