iv CONTENTS
Chapter 7. Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7A. Inverse Function Theorem (§7.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7B. Derivatives of Trigonometric Functions (§7.1, §7.2) . . . . . . . . . . . 94
7C. Area in Polar Coordinates (§7.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Chapter 8. Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8A. Extending Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8B. The Functions a
x
and log
b
x (§8.1, §8.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8C. Derivatives of Exponential Functions (§8.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Chapter 9. Infinite Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9A. Sequences (§9.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9B. Series (§9.2 – §9.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9C. Taylor’s Formula and Higher Differentials (§9.10) . . . . . . . . . . . . . 110
Chapter 10. Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10A. Hyperreal Vectors (§10.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10B. Vector Functions (§10.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Chapter 11. Partial Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11A. Continuity in Two Variables (§11.1, §11.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11B. Partial Derivatives (§11.3, §11.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
11C. Chain Rule and Implicit Functions (§11.5, §11.6) . . . . . . . . . . . . . 125
11D. Maxima and Minima (§11.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
11E. Second Partial Derivatives (§11.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Chapter 12. Multiple Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12A. Double Integrals (§12.1, §12.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12B. Infinite Sum Theorem for Two Variables (§12.3) . . . . . . . . . . . . . . 140
12C. Change of Variables in Double Integrals (§12.5) . . . . . . . . . . . . . . 144
Chapter 13. Vector Calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
13A. Line Integrals (§13.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
13B. Green’s Theorem (§13.3, §13.4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Chapter 14. Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
14A. Existence of Solutions (§14.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
14B. Uniqueness of Solutions (§14.4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
14C. An Example where Uniqueness Fails (§14.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Chapter 15. Logic and Superstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
15A. The Elementary Extension Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
15B. Superstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
15C. Standard, Internal, and External Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
15D. Bounded Ultrapowers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
15E. Saturation and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
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