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FOUNDATIONS OF INFINITESIMAL CALCULUS 无穷小微积分基础
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FOUNDATIONS OF INFINITESIMAL CALCULUS 无穷小微积分基础 foundation ofinfinitesimal Calculus
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FOUNDATIONS OF
INFINITESIMAL
CALCULUS
H. JEROME KEISLER
Department of Mathematics
University of Wisconsin, Madison, Wisconsin, USA
keisler@math.wisc.edu
June 4, 2011
ii
This work is licensed under the Creative Commons Attribution-Noncommercial-
Share Alike 3.0 Unported License. To view a copy of this license, visit
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/
Copyright
c
2007 by H. Jerome Keisler
CONTENTS
Preface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Chapter 1. The Hyperreal Numbers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1A. Structure of the Hyperreal Numbers (§1.4, §1.5) . . . . . . . . . . . . . . 1
1B. Standard Parts (§1.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1C. Axioms for the Hyperreal Numbers (§Epilogue) . . . . . . . . . . . . . . 7
1D. Consequences of the Transfer Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1E. Natural Extensions of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1F. Appendix. Algebra of the Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1G. Building the Hyperreal Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Chapter 2. Differentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2A. Derivatives (§2.1, §2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2B. Infinitesimal Microscopes and Infinite Telescopes . . . . . . . . . . . . . 35
2C. Properties of Derivatives (§2.3, §2.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2D. Chain Rule (§2.6, §2.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Chapter 3. Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3A. Limits and Continuity (§3.3, §3.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3B. Hyperintegers (§3.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3C. Properties of Continuous Functions (§3.5–§3.8) . . . . . . . . . . . . . . . 49
Chapter 4. Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4A. The Definite Integral (§4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4B. Fundamental Theorem of Calculus (§4.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4C. Second Fundamental Theorem of Calculus (§4.2) . . . . . . . . . . . . . 67
Chapter 5. Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5A. ε, δ Conditions for Limits (§5.8, §5.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5B. L’Hospital’s Rule (§5.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Chapter 6. Applications of the Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6A. Infinite Sum Theorem (§6.1, §6.2, §6.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6B. Lengths of Curves (§6.3, §6.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6C. Improper Integrals (§6.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
iii
iv CONTENTS
Chapter 7. Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7A. Inverse Function Theorem (§7.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7B. Derivatives of Trigonometric Functions (§7.1, §7.2) . . . . . . . . . . . 94
7C. Area in Polar Coordinates (§7.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Chapter 8. Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8A. Extending Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8B. The Functions a
x
and log
b
x (§8.1, §8.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
8C. Derivatives of Exponential Functions (§8.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Chapter 9. Infinite Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9A. Sequences (§9.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9B. Series (§9.2 – §9.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9C. Taylor’s Formula and Higher Differentials (§9.10) . . . . . . . . . . . . . 110
Chapter 10. Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10A. Hyperreal Vectors (§10.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10B. Vector Functions (§10.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Chapter 11. Partial Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11A. Continuity in Two Variables (§11.1, §11.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
11B. Partial Derivatives (§11.3, §11.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
11C. Chain Rule and Implicit Functions (§11.5, §11.6) . . . . . . . . . . . . . 125
11D. Maxima and Minima (§11.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
11E. Second Partial Derivatives (§11.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Chapter 12. Multiple Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12A. Double Integrals (§12.1, §12.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
12B. Infinite Sum Theorem for Two Variables (§12.3) . . . . . . . . . . . . . . 140
12C. Change of Variables in Double Integrals (§12.5) . . . . . . . . . . . . . . 144
Chapter 13. Vector Calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
13A. Line Integrals (§13.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
13B. Green’s Theorem (§13.3, §13.4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Chapter 14. Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
14A. Existence of Solutions (§14.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
14B. Uniqueness of Solutions (§14.4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
14C. An Example where Uniqueness Fails (§14.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Chapter 15. Logic and Superstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
15A. The Elementary Extension Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
15B. Superstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
15C. Standard, Internal, and External Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
15D. Bounded Ultrapowers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
15E. Saturation and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
CONTENTS v
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
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