FOUNDATIONS OF INFINITESIMAL CALCULUS 无穷小微积分基础

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FOUNDATIONS OF INFINITESIMAL CALCULUS 无穷小微积分基础 foundation ofinfinitesimal Calculus

FOUNDATIONS OF

INFINITESIMAL

CALCULUS

H. JEROME KEISLER

Department of Mathematics

University of Wisconsin, Madison, Wisconsin, USA

keisler@math.wisc.edu

June 4, 2011

CONTENTS

Preface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

Chapter 1. The Hyperreal Numbers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1A. Structure of the Hyperreal Numbers (§1.4, §1.5) . . . . . . . . . . . . . . 1

1B. Standard Parts (§1.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1C. Axioms for the Hyperreal Numbers (§Epilogue) . . . . . . . . . . . . . . 7

1D. Consequences of the Transfer Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1E. Natural Extensions of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1F. Appendix. Algebra of the Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1G. Building the Hyperreal Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Chapter 2. Differentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2A. Derivatives (§2.1, §2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2B. Inﬁnitesimal Microscopes and Inﬁnite Telescopes . . . . . . . . . . . . . 35

2C. Properties of Derivatives (§2.3, §2.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2D. Chain Rule (§2.6, §2.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Chapter 3. Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3A. Limits and Continuity (§3.3, §3.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3B. Hyperintegers (§3.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3C. Properties of Continuous Functions (§3.5–§3.8) . . . . . . . . . . . . . . . 49

Chapter 4. Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4A. The Deﬁnite Integral (§4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4B. Fundamental Theorem of Calculus (§4.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4C. Second Fundamental Theorem of Calculus (§4.2) . . . . . . . . . . . . . 67

Chapter 5. Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5A. ε, δ Conditions for Limits (§5.8, §5.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5B. L’Hospital’s Rule (§5.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Chapter 6. Applications of the Integral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6A. Inﬁnite Sum Theorem (§6.1, §6.2, §6.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6B. Lengths of Curves (§6.3, §6.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6C. Improper Integrals (§6.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

iii

iv CONTENTS

Chapter 7. Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7A. Inverse Function Theorem (§7.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7B. Derivatives of Trigonometric Functions (§7.1, §7.2) . . . . . . . . . . . 94

7C. Area in Polar Coordinates (§7.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Chapter 8. Exponential Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8A. Extending Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8B. The Functions a

and log

x (§8.1, §8.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8C. Derivatives of Exponential Functions (§8.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Chapter 9. Infinite Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9A. Sequences (§9.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9B. Series (§9.2 – §9.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9C. Taylor’s Formula and Higher Diﬀerentials (§9.10) . . . . . . . . . . . . . 110

Chapter 10. Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

10A. Hyperreal Vectors (§10.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

10B. Vector Functions (§10.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Chapter 11. Partial Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

11A. Continuity in Two Variables (§11.1, §11.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

11B. Partial Derivatives (§11.3, §11.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

11C. Chain Rule and Implicit Functions (§11.5, §11.6) . . . . . . . . . . . . . 125

11D. Maxima and Minima (§11.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

11E. Second Partial Derivatives (§11.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Chapter 12. Multiple Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

12A. Double Integrals (§12.1, §12.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

12B. Inﬁnite Sum Theorem for Two Variables (§12.3) . . . . . . . . . . . . . . 140

12C. Change of Variables in Double Integrals (§12.5) . . . . . . . . . . . . . . 144

Chapter 13. Vector Calculus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

13A. Line Integrals (§13.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

13B. Green’s Theorem (§13.3, §13.4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Chapter 14. Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

14A. Existence of Solutions (§14.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

14B. Uniqueness of Solutions (§14.4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

14C. An Example where Uniqueness Fails (§14.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Chapter 15. Logic and Superstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

15A. The Elementary Extension Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

15B. Superstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

15C. Standard, Internal, and External Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

15D. Bounded Ultrapowers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

15E. Saturation and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

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