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OpenFoam程序员手册（2.3版中文翻译大全）

OpenFoam

程序员手册

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45页

OpenFoam自带的程序员手册，楼主自行翻译的，几乎包含全部内容。另外还有一本用户手册。

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Open∇ FOAM

The Open Source CFD Toolbox

Programmer’s Guide

Version 2.3.0

5th February 2014

翻译：韩云龙

日期：2014 年 8 月

第 1 章张量

1.1 坐标系

OpenFOAM 采用右手坐标系

1.2 张量

张量用于描述属于特定空间、遵守特定数学法则的量。它用一系列单位矢量形式的

分量表示。单位矢量 i

、

、i

分别对应笛卡尔右手坐标系的 x、y、z 轴。张量的属性包

括 Dimension（所属空间的维数，d）和 Rank（整数 r≥0，阶）。

OpenFOAM 的 1.x 版本中维数为 3，因此张量的阶可以分为 0 到 3，通过这种方式

张量的阶可以无限扩展下去。

 0 阶—标量：可以用单个数值表示的属性，用斜体字符表示，如质量 m，压力 p。

 1 阶—矢量：包含大小和方向的量，用元素表示为 a = (a1 , a2 , a3 )。

 2 阶张量：包含 9 个元素，表示为

两个下标相同的元素称为对角元素，沿对角改变元素的排布，从而得到 T 的转置矩

阵

由于更高阶的张量很少见，所以通常所说的张量为 2 阶张量。

 对称 2 阶：元素关于对角线对称的张量，T

= T

。OpenFOAM 区分对称张量以节省

存储空间，因为对称张量只包含 6 个元素。连续介质力学中多为对称张量。

 3 阶：包含 27 个元素，表示为 P

ijk

。

 对称 3 阶：P

ijk

= P

ikj

= P

jik

= P

jki

= P

kij

= P

kji

，因此有 10 个独立的元素。它是由三个相

同的矢量的外积（见 1.3.4 节）得到的。

1.2.1 张量符号

张量符号用于表示 1 阶及以上的张量，换句话说，除标量以外所有的张量都可以用

加粗的字母表示。

张量符号与坐标轴无关。但是表示张量元素的其他符号（如 a

）却与坐标系有关。

结果就是张量的表示方法并不唯一，这取决于坐标系。

下标符号用于张量运算。使用下标符号时采用求和约定，即当一项中同一下标出现

两次时，下标取所有的值，然后求和，例如

1.3 张量代数运算

加减：

标量与张量相乘：

张量除以标量

1.3.1 内积

两个张量的阶分别为 r1 和 r2，内积的阶 r = r1 + r2−2。高于 3 阶的张量内积运算描

述为：

 矢量的内积得到标量

 张量与矢量的内积 b =T•a

如果 T 为非对称矩阵，则不满足交换性。b = a•T = T

•a

 两个张量的内积 P = T•S，

不满足交换性 T·S=（S

·T

）

。

 矢量 a 乘 3 阶张量 P

 2 阶张量乘 3 阶张量

1.3.2 二次内积

两个 2 阶张量的二次内积 s = T:S

2 阶张量与 3 阶张量的二次内积 a =T:P a =P:T

1.3.3 三次内积

两个

阶张量的三次内积

1.3.4 外积

 矢量外积 T = ab = (ba)

 矢量与张量的外积 P=aT P=Ta

1.3.5 叉积

矢量叉积 c = a×b

其中 e

ijk

为置换符号，当任意两个下标相同时等于 0（c

的每个分量只剩两项）；当

123 置换到 ijk 的次数为偶数时等于+1；奇数时等于-1。例如 ijk=132 时，123 中的 1 不

动，置换 23 得到 132，置换了 1 次，为奇数；ijk=312 时，123 的每个数都要动，可以

先置换 13，再置换 12，得到 312，置换了 2 次，为偶数。偶数置换为 123,312,232，奇

数置换为 132,213,321.

1.3.6 其他张量算法

Square：平方，代表张量与自身的外积

nth power：n 次方，代表 n 次外积

Magnitude squared：绝对值的平方，r 阶张量的 r 次内积

Magnitude：绝对值，绝对值平方的平方根。

Component maximum：最大分量

Component minimum：最小分量

Component average：平均分量

Scale：标量，两个张量对应分量的积

1.3.7 几何转换与单位张量

2 阶张量 T 定义为线性矢量函数，它通过内积将参考矢量 a 与另一个矢量 b 联系起

来 b=T·a。存在 T，可将一个张量从 xyz 坐标系转换到 x

坐标系。因此将 T 称为转

换张量。转化过程中标量不变，矢量 a 转换公式为

= T•a (1.25)

2 阶张量转换公式为

S*=T·S·T

(1.26)

单位张量 I 将张量转化为自身

a = I•a (1.27)

其中为 δ 为克罗内克函数符号。（i=j 时为 1，否则为 0）

1.3.8 常用等式

假设连续可导，s 为标量，a 为矢量

有时会用到 e-δ 等式

eijk eirs = δjr δks − δjs δkr (1.30)

1.3.9 二阶张量运算

 转置：T

= Tji

 Symmetric and skew (antisymmetric) tensors 对称张量与反对称张量：对称张量 T=T

，

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