泛函分析与最优控制知识点
泛函分析
第一章 距离空间与拓扑空间
一）距离空间
距离空间的概念及例子
距离空间中点列收敛性概念及性质
两距离空间之间的连续映射（点连续与整体连续）及等距映射的概念
距离空间中的邻域、开集及其性质、闭包及其性质、闭集及其性质
距离空间中稠密集的概念、可分距离空间的概念及例子
距离空间中的 Cauchy 序列及完备距离空间的概念及例子
理解闭球套定理、完备化距离空间定理、压缩映射原理
紧距离空间和列紧距离空间的概念、理解两者的关系定理
二）拓扑空间
拓扑空间概念及例子，距离空间与拓扑空间的关系
拓扑空间中的邻域、闭集、闭包、内部的概念及计算
两拓扑空间之间的连续映射、同胚的概念
满足第二可数公理的拓扑空间的概念、可分拓扑空间的概念
空间、 空间的概念
拓扑空间的子空间和乘积空间的概念
紧拓扑空间的概念、例子、闭遗传性（定理 1.6.2）、保像性 (定理 1.6.5)、及可乘性
(即两个紧拓扑空间的乘积空间还是紧拓扑空间)
第二章 赋范线性空间
赋范线性空间、按范收敛、Banach 空间、可分赋范线性空间的概念、赋范线性空间与
距离空间的关系
赋范线性的例子，如 、 、 、 、 、 、 和
赋范线性空间的子空间和乘积空间的概念
赋范线性空间的 Hamel 基和 Schauder 基的概念
等价范数的概念及例子
有穷维赋范空间的定理 2.4.1 及其证明，理解定理 2.4.3
第三章 有界线性算子
有界线性算子的概念、有界线性泛函的概念
有界线性算子与连续线性算子的关系
算子范数的概念及计算
有界线性算子的例子，例 3.1.1-例 3.1.3
线性算子的乘积及逆的概念、性质
理解共鸣定理、开映射定理、闭图像定理和泛函延拓定理
理解几类特殊赋范空间，如 、 、 中有界线性泛函的一般形式
第四章 Hilbert 空间
内积空间、Hilbert 空间的概念及例子
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