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代数学引论第二版第三章答案

Algebra

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代数学引论第二版第三章答案，包含了大部分网上能查到的答案以及自己写的部分。

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代数学第三章部分习题答案

1. 证明在环 R 内，若 1 − ab 可逆，则 1 −ba 可逆.

证明:

a(1 − ba) = a − aba = (1 − ab)a

a = (1 − ab)

−1

a(1 − ba)

1 − ba = 1 − b[(1 − ab)

−1

a(1 − ba)] = 1 − b(1 − ab)

−1

a(1 − ba)

(1 − ba) + b(1 − ab)

−1

a(1 − ba) = 1

[1 + b(1 − ab)

−1

a](1 − ba) = 1

所以 (1 − ba) 可逆，且 (1 − ba)

−1

= 1 + b(1 − ab)

−1

2. 设在环 R 中元素 u 有右逆，证明下列三条等价：

(1)u 有多于一个的右逆；

(2)u 是一个左零因子；

(3)u 不是单位.

证明:

(1)⇒(2):

由 u 有右逆知 u = 0, 则 u

, u

是 u 的右逆，u

= u

，则

u(u

− u

) = uu

− uu

= 1 − 1 = 0

而 u

− u

= 0，故 u 是 u

− u

的左零因子.

(2)⇒(3):

假设 u 为单位，则 u 可逆. 对 ∀u

∈ R, u

= 0.

于是

= 1 · u

= u

−1

= u

−1

(uu

) = 0

即 uu

= 0，故 u 不是左零因子，矛盾！因此 u 不是单位.

(3)⇒(1):

假设 u 只有一个右逆 u

，对 ∀r ∈ R, r = u

, 均有

ur = 1 = uu

则 u(r − u

) = 0. 由 r 的任意性知 u 不是左零因子. 而

u(1 − u

u) = u − uu

u = u − u = 0

因此 1 − u

u = 0，即 u

u = 1，所以 u

是 u 的左逆，于是 u 是单位，矛盾！

所以 u 有多于一个的右逆.

代数学第三章部分习题答案

3. 证明在环 R 内，若元素 u 有多于一个的右逆，则它有无穷多个右逆.

这个定理是 Kaplansky 定理. 下面给出一个非构造性证明.

证明:

设 A = {a|a ∈ R, ua = 1}，即 u 所有右逆的集合. 根据题意，A 至少有两

个元素. 从 A 中取出一个元素 a

，考虑集合 B = {au − 1 + a

: a ∈ A}，先证

明 B ⊆ A. 对 B 中任意一个元素 au − 1 + a

，有

u(au − 1 + a

) = uau − u + ua

= u − u + 1 = 1

所以 B ⊆ A. 其次，a

/∈ B，因为如果 a

∈ B，则 ∃a

∈ A, a

u − 1 + a

⇒ a

u = 1，即 u 有右逆，由题 2 知这是不可能的，故 a

/∈ B，所以 B 是

A 的真子集.

最后我们构造一个映射 φ : A → B, a 7→ au − 1 + a

，显然 φ 是满射，假

设 a

, a

∈ A, a

= a

但是 φ(a

) = φ(a

)，则

u − 1 + a

= a

u − 1 + a

− a

)u = 0

− a

)ua

= 0

− a

= 0

= a

矛盾！所以 φ 是双射. 存在一个 A 的真子集到 A 的双射，故 A 是无穷集，即

u 有无穷多个右逆.

4. 已知一个交换环 R 的全部幂零元构成 R 的一个理想. 在非交换环中，上述事

实是否成立？

解:

不成立. 取 R = M

A =







0 1 0

0 0 1

0 0 0







B =







0 0 0

1 0 0

0 1 0







则 A, B ∈ R, A

= B

= 0，但是

AB =







1 0 0

0 1 0

0 0 0







代数学第三章部分习题答案

所以对 ∀n ∈ N

∗

, (AB)

= AB = 0，即 AB 不是幂零元.

5. 设 F 为一个特征 p 的域，p 为素数，证明：

(a + b)

= a

+ b

, ∀a, b ∈ F

域的特征可以推广到幺环上去. 如果幺环 R 的单位元素 e 生成的加法群

G = {ne|n ∈ Z} 是一个无限群，则 R 叫做特征 0 的环；若 G 是一个有限群，

令 k = |G|，则 k 叫做环 R 的特征. 证明，若 R 为整环，则 R 的特征为 0 或

为一个素数，而且若 R 的特征为素数 p，则上面等式对 R 也成立.

证明:

(1)

(a + b)

∑

k=0

p−k

除了 k = 0, p 之外，C

p − k

p−1

, 即 (p − k)C

= pC

p−1

. 右边被 p 整除，

故左边能被 p 整除，而 (p, p − k) = 1，所以 p|C

. 于是 C

p−k

= 0, k =

1, 2, . . . , p − 1. 所以 (a + b)

= a

+ b

(2) 显然 R 的特征是 0 或者一个正整数. 若 char(R) = n 不是素数，则

n = k

, 1 < k

, k

< n, ne = k

e) = (k

e)(k

e) = 0，因为 R 是整环，所以

e = 0 或者 k

e = 0，与 n 的定义矛盾，所以 n 是素数. 剩余证明与 (1) 一样.

6. 设 M

(R) 为环 R 上 n × n 全矩阵环，又设 I 为 R 的一个理想，求证 I 上

n × n 全矩阵环 M

(I) 是 M

(R) 上的理想. 进一步证明，M

(R) 除了这一类

理想外再没有其他理想.

证明:

(1) 设 A = (a

)

n×n

∈ M

(I)，则 a

∈ I. 对 ∀B = (b

)

n×n

∈ M

(R),

AB =

(

∑

k=1

)

n×n

因为 a

∈ I, b

∈ R，而 I 是 R 的理想，所以 a

∈ I. 所以 AB 每个元素

都在 I 中，故 AB ∈ M

(I). 同理可证 BA ∈ M

(I)，因此 M

(I) 是 M

(R)

的一个理想.

(2) 设 K 是 M

(R) 的一个理想，令 Ω = {a|a 是 A 的元素，A ∈ K}. 即 K 中

所有矩阵的元素构成的集合. 显然 0 ∈ Ω，所以 Ω 非空. 现在证明 Ω 是一个理

想.

代数学第三章部分习题答案

设 a

, a

∈ Ω，即 ∃A

, A

∈ K, s.t a

是 A

的元素，a

是 A

的元素. 设

= a

, a

= a

，则

= a

其中 E

是除了第 i 行第 j 列的元素为 1 外其他元素都是 0 的 n × n 矩阵. 因

此

) − (E

) = (a

− a

因为 E

, E

∈ K，所以 (a

−a

∈ K, 即 a

−a

∈ Ω，所

以 Ω 是加法交换群.

设 a ∈ Ω, r ∈ R，取 a 对应的矩阵 A，并设 a 的位置为 a

. 则 E

∈ K，取 rE

∈ R，因为 K 是理想，所以

· rE

= (ar)E

∈ K ⇒ ar ∈ Ω

· aE

= (ra)E

∈ K ⇒ ra ∈ Ω

所以 Ω 是 R 的理想. 最后我们说明 K = M

(Ω). 由前面的证明可知 K ⊆

(Ω)，而对于 ∀A = (a

)

n×n

∈ M

(Ω), ∃A

∈ K，使得 a

是 A

中的一个

元素. 我们不妨设 a

位于 A

的第 k

行第 l

列，则可以通过将元素移位得到

A，具体来说就是

∑

i,j=1

∑

i,j=1

= A ∈ K

所以 M

(Ω) ⊆ K，因此 K = M

(Ω). 故 M

(R) 只能有 M

(I) 这种形式的理想.

7. 设 I, H, N 为环 R 的理想. 证明

(H + N) · I = H ·I + N · I, I ·(H + N ) = I ·H + I · N.

证明：

设 r ∈ (H + N) · I，则

r =

∑

i=1

+ n

∑

i=1

∑

i=1

其中 h

∈ H, n

∈ N, a

∈ I, i = 1, 2, . . . , n. 所以 r ∈ H · I + N · I. 于是

(H + N) · I ⊆ H ·I + N · I.

代数学第三章部分习题答案

另一方面，设 r ∈ H · I + N · I, 则

r =

∑

i=1

∑

j=1

(

∑

i=1

∑

i=1

0 · b

)





∑

j=1

∑

j=1

0 · a





其中 h

∈ H, n

∈ N, a

, b

∈ I, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n. 不妨取 h

m+1

m+2

= . . . = h

m+n

= 0, n

n+1

= n

n+2

= . . . = n

n+m

= 0, c

= a

(i =

1, 2, . . . , m), c

m+j

= b

(j = 1, 2, . . . , n).，则

r =

m+n

∑

i=1

m+n

∑

i=1

m+n

∑

i=1

+ n

因为 c

∈ I, h

∈ H, n

∈ N, i = 1, 2, . . . , m + n，所以 r ∈ (H + N) · I. 于是

H · I + N · I ⊆ (H + N ) · I.

综上可得 (H + N) ·I = H ·I + N ·I，同理可得 I ·(H + N) = I ·H + I ·N.

8. 设 η : R → R

′

是一个满的环同态而且将 R 的单位元素 1 映到单位元素 1’. 指

出下列命题的正确与错误. 正确的给以证明，错误的举出反例.

(i) 若 a ∈ R 是幂零（幂等）元，则 η(a) 也是 R

′

的幂零（幂等）元.

(ii) 若 a ∈ R 是零因子，则 η(a) 也是 R

′

的零因子.

(iii) 若 R 为整环，则 η(R) = R

′

也是整环.

(iv) 若 η(R) = R

′

为整环，则 R 也是整环.

(v) 若 u ∈ R 是单位，则 η(u) 也是 R

′

的单位.

(vi) 若 η(u) 是 R

′

的单位，则 u ∈ R 也是单位.

证明:

(i) 正确. 设 a

= 0, m ∈ N

∗

，则 η

(a) = η(a

) = η(0) = 0

′

. 设 a

= a，则

(a) = η(a

) = η(a).

(ii) 错误. 设

R =

{(

a 0

b c

)



a, b, c ∈ Z

}

, η : R → Z,

(

a 0

b c

)

7→ a.

则 η 为满同态且

(

1 0

0 1

)

7→ 1. 而

(

1 0

0 0

)

(

0 0

0 1

)

(

0 0

) (

0 0

0 1

)

(

1 0

0 0

)

(

0 0

)

所以

(

1 0

0 0

)

是零因子，但 η

((

1 0

0 0

))

= 1 不是零因子.

(iii) 错误.η : Z → Z/(6) 是自然满同态，Z 为整环，但 Z/(6) 不是整环.

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