代数学第三章部分习题答案
1. 证明在环 R 内，若 1 − ab 可逆，则 1 −ba 可逆.
证明:
a(1 − ba) = a − aba = (1 − ab)a
a = (1 − ab)
−1
a(1 − ba)
1 − ba = 1 − b[(1 − ab)
−1
a(1 − ba)] = 1 − b(1 − ab)
−1
a(1 − ba)
(1 − ba) + b(1 − ab)
−1
a(1 − ba) = 1
[1 + b(1 − ab)
−1
a](1 − ba) = 1
所以 (1 − ba) 可逆，且 (1 − ba)
−1
= 1 + b(1 − ab)
−1
a.
2. 设在环 R 中元素 u 有右逆，证明下列三条等价：
(1)u 有多于一个的右逆；
(2)u 是一个左零因子；
(3)u 不是单位.
证明:
(1)⇒(2):
由 u 有右逆知 u = 0, 则 u
1
, u
2
是 u 的右逆，u
1
= u
2
，则
u(u
1
− u
2
) = uu
1
− uu
2
= 1 − 1 = 0
而 u
1
− u
2
= 0，故 u 是 u
1
− u
2
的左零因子.
(2)⇒(3):
假设 u 为单位，则 u 可逆. 对 ∀u
3
∈ R, u
3
= 0.
于是
u
3
= 1 · u
3
= u
−1
uu
3
= u
−1
(uu
3
) = 0
即 uu
3
= 0，故 u 不是左零因子，矛盾！因此 u 不是单位.
(3)⇒(1):
假设 u 只有一个右逆 u
4
，对 ∀r ∈ R, r = u
4
, 均有
ur = 1 = uu
4
则 u(r − u
4
) = 0. 由 r 的任意性知 u 不是左零因子. 而
u(1 − u
4
u) = u − uu
4
u = u − u = 0
因此 1 − u
4
u = 0，即 u
4
u = 1，所以 u
4
是 u 的左逆，于是 u 是单位，矛盾！
所以 u 有多于一个的右逆.
1
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