普通克里金 (Ordinary Kriging) 插值
2018 年 4 月 2 日
1 普通克里金的插值思想
普通克里金插值的假设条件为, 空间属性是均一的, 即对于空间任意一点 x 处的属性值 (观察值)
z(x) 都有同样的期望 c 和方差 σ
2
:
E[z(x)] = c
D[z(x)] = σ
2
.
换一种说法就是, 任意一点处的值 z(x) 都由区域平均值 c 和该点处的随机偏差 R(x) 组成, 即
z(x) = E[z(x)] + R(x) = c + R(x). (1)
其中 R(x) 表示点 x 处的偏差, 其方差均为常数:
D[R(x)] = σ
2
.
基于以上假设, 普通克里金的插值公式为
ˆz(x
0
) =
n
i=1
λ
i
z(x
i
). (2)
其中 x
1
, x
2
, · · · , x
n
为空间 (区域) 中的 n 个观测点, z(x
1
), z(x
2
), · · · , z(x
n
) 分别为相应的观测值. 式 (2)
表明空间 x
0
处的值 ˆz(x
0
) 可以采用已知点观测值的一个线性组合来估计.
2 普通克里金插值公式推导
只要确定了式 (2) 中的系数 λ
i
, 就能够计算任意给定点处的值. 确定系数 λ
i
有两个标准条件: 无偏
性和最小方差:
(1) 无偏性需满足的条件:
E[ˆz(x
0
) − z(x
0
)] = 0. (3)
(2) 最小方差需满足的条件:
min D[ˆz(x
0
) − z(x
0
)]. (4)
记
z
i
=
z
(
x
i
)
.
对于式 (3), 结合式 (2) 有
E[ˆz(x
0
) − z(x
0
)] = E
n
i=1
λ
i
x
i
− z
0
=
n
i
=1
λ
i
E(z
i
) − E(z
0
)
=
n
i=1
λ
i
c − c = 0.
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