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Matlab_LMI(线性矩阵不等式)工具箱中文版介绍及使用教程
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更新于2023-03-16
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线性矩阵不等式(LMI)工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件 包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式,使得各种线性矩阵不等式能够以自然块 矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定,就可以通过调用适当的线性矩 阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。 LMI 工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具,它们主要用 于: 以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式; 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息; 修改现有的线性矩阵不等式系统; 求解三个一般的线性矩阵不等式问题; 验证结果。 本附录将详细介绍 LMI 工具箱提供的用于解决以上各个问题的相关函数和命令。
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LMI 工具箱介绍
线性矩阵不等式(LMI)工具箱是求解一般线性矩阵不等式问题的一个高性能软件
包。由于其面向结构的线性矩阵不等式表示方式,使得各种线性矩阵不等式能够以自然块
矩阵的形式加以描述。一个线性矩阵不等式问题一旦确定,就可以通过调用适当的线性矩
阵不等式求解器来对这个问题进行数值求解。
LMI 工具箱提供了确定、处理和数值求解线性矩阵不等式的一些工具,它们主要用
于:
z 以自然块矩阵形式来直接描述线性矩阵不等式;
z 获取关于现有的线性矩阵不等式系统的信息;
z 修改现有的线性矩阵不等式系统;
z 求解三个一般的线性矩阵不等式问题;
z 验证结果。
本附录将详细介绍 LMI 工具箱提供的用于解决以上各个问题的相关函数和命令。
A.1 线性矩阵不等式及相关术语
一个线性矩阵不等式就是具有以下一般形式的一个矩阵不等式:
0<+++=
NN
xx LLLxL "
110
)(
(1)
其中: 是给定的对称常数矩阵, 是未知变量,称为决策变量,
N
LLL ,,,
10
"
N
xx ,,
1
"
∈=
T
1
],,[
N
xx "x
N
R
是由决策变量构成的向量,称为决策向量。
尽管表达式(1)是线性矩阵不等式的一个一般表示式,但在大多数实际应用中,线
性矩阵不等式常常不是以一般表示式(1)的形式出现,而是具有以下形式:
),,(),,(
11 nn
XXRXXL "" <
其中的 和 是矩阵变量 的仿射函数,通过适当的代数运算,上式可以写
成线性矩阵不等式的一般表示式(1)的形式。例如,在系统稳定性问题中经常遇到的
Lyapunov 矩阵不等式
)(⋅L )(⋅R
n
XX ,,
1
"
0<+ XAXA
T
(2)
也是一个线性矩阵不等式,其中的 是一个矩阵变量。我们以一个二阶矩阵
为例,将矩阵不等式(2)写成一般表示式(1)的形式。针对二阶矩阵不
X
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
20
21
A
等式(2),对应的矩阵变量 是一个二阶的对称矩阵, ,不等式(2)中
的决策变量是矩阵 中的独立元 。根据对策性,矩阵变量 可以写成
X
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
32
21
xx
xx
X
X
321
xxx 、、 X
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
10
00
01
10
00
01
321
xxxX
将矩阵
A
和上式代入矩阵不等式(2),经整理,可得
0<
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
40
00
43
30
02
22
321
xxx (3)
这样就将矩阵不等式(2)写成了线性矩阵不等式的表示式(1)。显然,与 Lyapunov 矩
阵不等式(2)相比,表示式(3)缺少了许多控制中的直观意义。另外,(3)式涉及到
的矩阵也比(2)式中的多。如果矩阵 是 阶的,则(3)式中的系数矩阵一般有
A
n
2)1( +nn 个。因此,这样的表达式在计算机中将占用更多的存储空间。由于这样的一些
原因,LMI 工具箱中的函数采用线性矩阵不等式的结构表示。例如,Lyapunov 矩阵不等
式(2)就以矩阵变量 的不等式来表示,而不是用其一般形式(3)来表示。
X
一般的,一个线性矩阵不等式具有块矩阵的形式,其中每一个块都是矩阵变量的仿射
函数。以下通过一个例子来说明有关描述一个线性矩阵不等式的术语。
考虑 控制中的一个线性矩阵不等式:
∞
H
0<
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
N
IDB
DICX
BXCXAXA
N
γ
γ
TT
TT
T
其中: 是给定的矩阵,
NDCBA 、、、、
∈
=
T
XX
nn×
R
和 R
∈
γ
是问题的变量。
z
N 称为外因子,块矩阵
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
=
IDB
DICX
BXCXAXA
XL
γ
γγ
TT
TT
),(
称为内因子。外因子可以不是一个正方矩阵,它在许多问题中常常不出现。
z
X
和
γ
是问题的矩阵变量。注意标量也可以看成是一个 11
×
维的矩阵。
z 内因子 ),(
γ
XL 是一个对称块矩阵。根据对称性, ),(
γ
XL 可以由对角线及其上方
的块矩阵完全确定。
z ),(
γ
XL 中的每一块都是矩阵变量
X
和
γ
的仿射函数。这一函数由常数项和变量
项这两类基本项组成,其中常数项就是常数矩阵或以一些常数矩阵组成的算术表
达式,例如
),(
γ
XL 中的 和B
D
;变量项是包含一个矩阵变量的项,例如
IXA
γ
−, 等。
一个线性矩阵不等式不论多么复杂,都可以通过描述其中每一块的各项内容来确定这
个线性矩阵不等式。
A.2 线性矩阵不等式的确定
LMI 工具箱可以处理具有以下一般形式的线性矩阵不等式:
MXXRMNXXLN ),,(),,(
1
T
1
T
KK
"" <
其中: 是具有一定结构的矩阵变量,左、右外因子
K
XX ,,
1
"
N
和
M
是具有相同维数的
给定矩阵,左、右内因子 和
)(⋅L )(
⋅
R 是具有相同块结构的对称块矩阵。
注意在线性矩阵不等式的描述中,左边总是指不等式较小的一边,例如对线性矩阵不
等式 ,
0>X
X
称为是不等式的右边,0 称为是不等式的左边,常表示成 。
X<0
要确定一个线性矩阵不等式系统,需要做以下两步:
1
.给出每个矩阵变量 的维数和结构;
K
XX ,,
1
"
2
.描述每一个线性矩阵不等式中各个项的内容。
这个过程产生所描述线性矩阵不等式系统的一个内部表示,它以一个单一向量的形式
储存在计算机内,通常用一个名字,例如
lmisys 来表示。该内部表示 lmisys 可以在后面处
理这个线性矩阵不等式时调用。
下面将通过 LMI 工具箱中的一个例子来说明线性矩阵不等式系统的确定。运行
lmidem 可以看到这个例子的完整描述。
例 1:考虑一个具有 4 个输入、4 个输出和 6 个状态的稳定传递函数
BAICG
1
)()(
−
−= ss
(4)
和一组具有以下块对角结构的输入/输出尺度矩阵
D
:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
54
32
1
1
00
00
000
000
dd
dd
d
d
D
(5)
则在具有时变不确定性系统的鲁棒稳定性分析中提出了以下问题:
寻找一个具有结构(5)的尺度矩阵
D
,使得 1)(sup
1
<
−
DDG
ω
ω
j 。
可以证明:这样一个问题可以转化成一个线性矩阵不等式系统的可行性问题,即寻找
两个对称矩阵
X
66
R
×
∈
和 DDS
T
=
44×
∈
R
,使得
0<
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
++
SXB
XBSCCXAXA
T
TT
(6)
0>X
(7)
IS >
(8)
用命令 lmivar 和 lmiterm 给出线性矩阵不等式系统(6)~(8)的内部描述如下:
setlmis([])
X=lmivar(1,[6 1])
S=lmivar(1,[2 0;2 1])
% 1st LMI
lmiterm([1 1 1 X],1,A,’s’)
lmiterm([1 1 1 S],C’,C)
lmiterm([1 1 2 X],1,B)
lmiterm([1 2 2 S],-1,1)
% 2nd LMI
lmiterm([-2 1 1 X],1,1)
% 3rd LMI
lmiterm([-3 1 1 S],1,1)
lmiterm([3 1 1 0],1)
lmisys=getlmis
其中:函数 lmivar 定义了两个矩阵变量
X
和 ,lmiterm 则描述了每一个线性矩阵不等式
中各项的内容。
getlmis 回到了这个线性矩阵不等式系统的内部表示 lmisys,lmisys 也称为
是储存在机器内部的线性矩阵不等式系统的名称。以下将详细介绍这几个函数的功能和用
法。
S
setlmis 和 getlmis
一个线性矩阵不等式系统的描述以 setlmis 开始,以 getlmis 结束。当要确定一个新的
系统时,输入:
setlmis([])
如果需要将一个线性矩阵不等式添加到一个名为 lmiso 的现有的线性矩阵不等式系统中,
则输入:
setlmis(lmiso)
当线性矩阵不等式系统被完全确定好后,输入:
lmisys=getlmis
该命令返回这个线性矩阵不等式系统的内部表示 lmisys。
lmivar
函数 lmivar 用来描述出现在线性矩阵不等式系统中的矩阵变量,每一次只能描述一个
矩阵变量。矩阵变量的描述包括该矩阵变量的结构。该函数的一般表达式是:
X=lmivar(type,struct)
这一函数定义了一个新的矩阵变量
X
,X 是该矩阵变量的变量名。函数中的第一个输
入量
type 确定了矩阵变量 X 的类型,第二个输入量 struct 进一步根据变量
X
的类型给出该
变量的结构。变量的类型分成三类:
Type =1
:对称块对角结构。这种结构对应于具有以下形式的矩阵变量:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
r
D
D
D
"
#%##
"
"
00
00
00
2
1
其中对角线上的每一个矩阵块 是方阵,它可以是零矩阵、对称矩阵或数量矩阵。这种
结构也包含了通常意义的对称矩阵和数量矩阵(分别相当于只有一块)。此时,
struct 是
一个
j
D
2×
r
维的矩阵。如果该矩阵的第 i 行是 ,则其中的 表示对称矩阵块 的阶
数,而
n 只能取 1、0 或 ,其中
),( nm
m
i
D
1− 1
=
n 表示 是一个满的对称矩阵(或无结构的对称矩
阵), 表示 是一个数量矩阵,
i
D
0=n
i
D 1
−
=
n
表示 是一个零矩阵。
i
D
Type =2
:长方型结构。这种结构对应于任意的长方矩阵。此时,struct= 表示矩
阵的维数。
),( nm
Type =3
:其他结构。这种结构用来描述更加复杂的矩阵,也可以用于描述矩阵变量
之间的一些关联。
X
的每一个元或者是 0,或者是
n
x
±
,其中 是第 个决策变量。相应
的,struct 是一个和变量
n
x
n
X
有相同维数的矩阵,其中的每一个元取值如下:
struct
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=−
=
=
=
n
n
xjin
xjin
ji
ji
),(,
),(,
0),(,0
),(
X
X
X
如果
如果
如果
例 2:考虑具有三个矩阵变量 和 的线性矩阵不等式系统,其中
21
XX 、
3
X
z 是一个
1
X 33
×
维的对称矩阵;
z 是一个 维的长方矩阵;
2
X
42×
z ,其中
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Δ
=
22
13
I
X
δ
δ
00
00
00
Δ
是
55
×
维的对称矩阵,
1
δ
和
2
δ
是两个标量, 表示
维的单位矩阵。
2
I
22×
可以应用 lmivar 来定义这些矩阵变量:
setlmis([])
X1=lmivar(1,[3 1])
X2=lmivar(2,[2 4])
X3=lmivar(1,[5 1;1 0;2 0])
lmiterm
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