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偏微分方程
数值解法
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更新于2023-05-31
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参考书籍 微分方程数值解法李荣华 第4版 对书上的很多公式和例题进行了相对详细的推导 适合微积分数学基础极差的同学 公式为个人手推，难免有打印错误和推导错误 仅供参考
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第
1
章
0
1
第
2
章
椭圆型方程
2.1
一维差分格式
(*
区域离散化
*)
都要取节点将区间进行剖分。
计算区间
[
a
,
b
]
剖分方式：取
N
+
1
个剖分节点
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
…
<
x
i
<
…
<
x
N
=
b
I
的网格剖分得到
N
个区间
I
i
I
i
:
x
i
−
1
≤
x
≤
x
i
,
i
=
1,2
,
…
,
N
每个区间的长度
h
i
h
i
=
x
i
−
x
i
−
1
对偶剖分节点：每个剖分区间的中点
x
i
−
1
2
=
1
2
(
x
i
−
1
+
x
i
)
i
=
1,2
,
…
,
N
对偶剖分：
a
=
x
0
<
x
1
2
<
x
3
2
<
…
<
x
N
−
1
2
<
x
N
=
b
2.1.1
直接差分化
(*
微分算子离散化
*)
L
u
=
−
d
d
x
(
p
d
u
d
x
)
+
r
d
u
d
x
+
qu
=
f
,
a
<
x
<
b
u
(
a
)
=
α
,
u
(
b
)
=
β
2.1.1.1
说明
一个比较通用的方程形式
要求
p
一阶导数连续
要求
r
,
,
q
,
f
连续
要求
p
恒大于
0
2.1.1.2
操作方式
直
接在
方
程中
泰勒
展
开
，
在
每
个
内
部
剖
分
节
点
上
用
差
商
代
替
微
商
，
一
共
操作
N-1
次
①
2
[
r
d
u
d
x
]
i
≈
r
i
u
(
x
i
+
1
)
−
u
(
x
i
−
1
)
h
i
+
1
+
h
i
②
[
d
d
x
(
p
d
u
d
x
)
]
i
≈
2
h
i
+
h
i
+
1
[
p
i
+
1
2
u
(
x
i
+
1
)
−
u
(
x
i
)
h
i
+
1
−
p
i
+
1
2
u
(
x
i
)
−
u
(
x
i
−
1
)
h
i
]
最终得到：
L
h
u
i
=
−
2
h
i
+
h
i
+
1
[
p
i
+
1
2
u
(
x
i
+
1
)
−
u
(
x
i
)
h
i
+
1
−
p
i
+
1
2
u
(
x
i
)
−
u
(
x
i
−
1
)
h
i
]
+
r
i
u
(
x
i
+
1
)
−
u
(
x
i
−
1
)
h
i
+
1
+
h
i
+
q
i
u
i
=
f
i
,
i
=
1,2
,
…
,
N
−
1
推导：
u
(
x
+
h
1
)
=
u
(
x
)
+
u
'
(
x
)
h
1
+
u
'
'
(
x
)
h
1
2
2
!
+
u
'
'
'
(
x
)
h
1
3
3
!
+
O
(
h
4
)
u
(
x
−
h
2
)
=
u
(
x
)
−
u
'
(
x
)
h
2
+
u
'
'
(
x
)
h
2
2
2
!
−
u
'
'
'
(
x
)
h
2
3
3
!
+
O
(
h
4
)
要保留一阶导数时，展开到一阶导数然后相减
高阶导数全都舍去
u
(
x
+
h
1
)
−
u
(
x
−
h
2
)
≈
u
'
(
x
)
(
h
2
+
h
1
)
化简得到：
u
'
(
x
)
≈
u
(
x
+
h
1
)
−
u
(
x
−
h
2
)
h
2
+
h
1
要保
留
二
阶
导
数
时
，
先
求
p
d
u
d
x
，求
[
p
d
u
d
x
]
i
−
1
2
和
[
p
d
u
d
x
]
i
+
1
2
，然
后
再
让
他
们
两
个
相减
[
p
d
u
d
x
]
i
−
1
2
≈
p
i
−
1
2
u
(
x
i
)
−
u
(
x
i
−
1
)
h
i
[
p
d
u
d
x
]
i
+
1
2
≈
p
i
+
1
2
u
(
x
i
+
1
)
−
u
(
x
i
)
h
i
+
1
再次使用一阶差商的格式
3
[
d
d
x
(
p
d
u
d
x
)
]
≈
[
p
d
u
d
x
]
i
+
1
2
−
[
p
d
u
d
x
]
i
−
1
2
h
i
+
h
i
+
1
2
=
p
i
+
1
2
u
(
x
i
+
1
)
−
u
(
x
i
)
h
i
+
1
−
p
i
−
1
2
u
(
x
i
)
−
u
(
x
i
−
1
)
h
i
h
i
+
h
i
+
1
2
=
2
h
i
+
h
i
+
1
(
p
i
+
1
2
u
(
x
i
+
1
)
−
u
(
x
i
)
h
i
+
1
−
p
i
−
1
2
u
(
x
i
)
−
u
(
x
i
−
1
)
h
i
)
2.1.1.3
截断误差：
误差都是来自一阶导数转差分时候舍去的高次项
u
(
x
i
)
是原函数在
x
i
点处的取值，是真值
u
i
是原函数在
x
i
点处的离散近似值
在求过导数之后由于截断误差的存在两者不相等
R
i
(
u
)
=
L
h
u
(
x
i
)
−
L
h
u
i
在
u
(
x
+
h
1
)
−
u
(
x
−
h
2
)
≈
u
'
(
x
)
(
h
2
+
h
1
)
这个方程中将高阶的泰勒展开式带进去得到
u
'
(
x
)
(
h
1
−
h
2
)
+
u
'
'
(
x
)
(
h
1
2
−
h
2
2
)
2
!
+
O
(
h
2
)
在
h
1
≠
h
2
时，误差是
O
(
h
)
级的
在
h
1
=
h
2
时，误差是
O
(
h
2
)
级的（二次项约掉了）
2.1.2
有限体积法
2.1.2.1
说明
L
u
=
−
d
d
x
(
p
d
u
d
x
)
+
qu
=
f
,
a
<
x
<
b
①
p>0
②
可以用在系数
p
,
q
,
f
不连续的情形（有有限个间断点）
③
必须
是
按
照
d
d
x
(
p
d
u
d
x
)
形式
才
是
守
恒
形
式
的
方
程
。
将
导
数
展
开之
后再
分
别
差分化就不是守恒形式了（可能因为系数不连续）
④
例子里没给
r
但是看例题的意思应该是可以有
r
的一阶导数项的
2.1.2.2
操作方式
连续系数时与直接差分法时是一样的，
有不连续的系数的话，在间断点处取左右极限的平均值
L
h
u
i
=
−
2
h
i
+
h
i
+
1
[
a
i
+
1
u
(
x
i
+
1
)
−
u
(
x
i
)
h
i
+
1
−
a
i
u
(
x
i
)
−
u
(
x
i
−
1
)
h
i
]
+
d
1
u
i
=
ϕ
i
,
i
=
1,2
,
…
,
N
−
1
4
其中如果
p,q,f
光滑时，和直接差分法一样
{
a
i
=
p
i
−
1
2
d
i
=
q
i
ϕ
i
=
f
i
如果
p,q,f
不光滑，就在上式中对应的间断点上取左右极限的平均值
2.1.2.3
推导方式：
设
W
=
p
d
u
d
x
p
不一定连续，但是因为
p
只有有限个间断点，
W
一定连续
原式两边积分
−
∫
x
(
1
)
x
(
2
)
d
d
x
(
p
d
u
d
x
)
d
x
+
∫
x
(
1
)
x
(
2
)
qu
d
x
=
∫
x
(
1
)
x
(
2
)
f
d
x
展开
W
(
x
(
1
)
)
−
W
(
x
(
2
)
)
+
∫
x
(
1
)
x
(
2
)
q
(
x
)
u
d
x
=
∫
x
(
1
)
x
(
2
)
f
d
x
在各个点处取对偶单元求导数
W
(
x
i
−
1
2
)
−
W
(
x
i
+
1
2
)
+
∫
x
i
−
1
2
x
i
+
1
2
q
(
x
)
u
d
x
=
∫
x
i
−
1
2
x
i
+
1
2
f
d
x
由于
W
(
x
)
p
(
x
)
=
d
u
d
x
两边积分并展开
∫
x
i
−
1
x
i
du
dx
d
x
=
∫
x
i
−
1
x
i
W
(
x
)
p
(
x
)
d
x
u
i
−
u
i
−
1
=
∫
x
i
−
1
x
i
W
(
x
)
p
(
x
)
d
x
用中矩形公式
∫
x
i
−
1
x
i
W
(
x
)
p
(
x
)
d
x
≈
W
i
−
1
2
∫
x
i
−
1
x
i
1
p
(
x
)
d
x
∫
x
i
−
1
2
x
i
+
1
2
q
(
x
)
u
d
x
≈
u
i
∫
x
i
−
1
2
x
i
+
1
2
q
(
x
)
d
x
5
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