有限单元法课后习题解答与边界条件分析

"该资源是有限单元法课程的课后习题解答，由清华大学的王勖成教授提供，涵盖了预备知识等章节。内容涉及到如何应用有限单元法解决边界条件问题，以及不同求解方法，包括配点法、子域法和伽辽金法的运用。" 在有限单元法中，解决边界条件的处理至关重要，因为这直接影响到最终解的准确性。当采用有限元法求解问题时，虽然边界条件通常会被满足，但控制方程与实际问题的不完全匹配会导致误差。习题1.2中给出了一个近似函数 φ(x)，这个函数需满足特定的边界条件，以确保解的正确性。 近似函数 φ(x) 的形式是： φ(x) = a0 + a1 * x^2 + a2 * x^3 + a3 * x^4 对于情况（1），边界条件为： φ(L) = 1 利用这个边界条件，可以消去函数中的一部分系数，简化表达式。这样，当把 φ(x) 代入问题的控制方程时，可以得到残量 Rx，并且通过不同的求解策略，如配点法、子域法或伽辽金法，使残量在特定条件下为零或者积分等于零，以确定未知系数 a1 和 a2。 配点法是将残量 R(x) 在有限个特定点强制为零。例如，在 x=L/3 和 x=2L/3 处，R(x)=0，这样就可以建立一个线性方程组来求解 a1 和 a2。 子域法则是在有限个子域 Ωi 内，要求残量 R(x) 的积分等于零。通过选择适当的子域分布，特别是对于问题中变化剧烈的区域，可以优化子域大小以提高解的精度。例如，可以将整个区域分为两个子域 Ω1 和 Ω2，并分别在每个子域内要求残量的积分为零。 伽辽金法是加权余量法的一种，它选用插值函数作为权函数。在这个例子中，权函数 N1(x) 和 N2(x) 是 φ(x) 的插值基函数。通过将残量乘以这些权函数并积分，同样可以求得待定系数 a1 和 a2。 对于其他边界条件，可以根据类似的方法处理，调整近似函数 φ(x) 以满足不同类型的边界，如 Dirichlet 边界条件（固定边界）或 Neumann 边界条件（施加力或位移）。有限单元法的关键在于构建合适的离散化模型，并找到正确的方法来处理边界条件，以获得逼近真实解的数值解。