泛函分析知识总结与举例、应用
学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线
性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；
五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间
（一）度量空间
度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是 维欧氏空间 （有限维空间）的
推
广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设 X 是一个集合，若对于 X 中任意两个元素 x，y,都有唯一确定的实数
d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：
1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 （非负性）
2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）
3°对 z ，都有 d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）
则称 d(x,y)是 x、y 之间的度量或距离（matric 或 distance），称为
(X,d)度量空间或距离空间(metric space)。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）
注意: ⑴ 定义在 X 中任意两个元素 x，y 确定的实数 d(x,y)，只要满足 1°、2°、3°都称为
度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述
X 中两个事物接近的程度，而条件 1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满
足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合 X 和度量函数 d 所组成，在同一个集合 X 上若有两个不同的度
量函数 和 ，则我们认为(X, )和(X, )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合 X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间
(X,d)中的元素为“点” ，例如若 ，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数 d，而称“度量空间 X” 。
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