1
高等数学
高中公式
三角函数公式
和差角公式 和差化积公式
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
()
1
1
()
tg tg
tg
tg tg
ctg ctg
ctg
ctg ctg
sin sin 2sin cos
22
sin sin 2cos sin
22
cos cos 2cos cos
22
cos cos -2sin sin
22
积化和差公式 倍角公式
1
sin cos [sin( ) sin( )]
2
1
cos sin [sin( ) sin( )]
2
1
cos cos [cos( ) cos( )]
2
1
sin sin [cos( ) cos( )]
2
2
22
2
22
2
2
2
3
3
3
2
2tan
sin 2 2sin cos
1 tan
cos2 2cos 1 1 2sin
1 tan
cos sin
1 tan
21
2 2
12
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3
3
13
tg ctg
tg ctg
tg ctg
tg tg
tg
tg
半角公式
1 cos 1 cos
sin cos
2 2 2 2
1 cos 1 cos sin
2 1 cos sin 1 cos
1 cos 1 cos sin
2 1 cos sin 1 cos
tg
ctg
11
V =SH V = SH V = H(S+ +S )
33
SS
棱柱 棱锥 棱台
球的表面积：4πR
2
球的体积：
3
4
3
R
椭圆面积：πab 椭球的体积：
4
3
abc
第 1 章 极限与连续
1.1 集合、映射、函数
空集，子集，有限集，无限集，可列集，积集，区间，邻域，上界，下界，
上有界集，下有界集，无界集，上确界，下确界
确界存在定理：凡有上(下)界的非空数集必有有限的上(下)确界。
映射，象，原象，定义域，值域，满映射，单映射，双射，函数，自变量，
因变量，基本初等函数
1.2 数列的极限
性质：
1. （唯一性）收敛数列的极限必唯一。
2. （有界性）收敛数列必为有界数列。
3. （子列不变性）若数列收敛于 a，则其任何子列也收敛于 a。
注1. 一个数列有若干子列收敛且收敛于一个数，仍不能保证原数列收敛。
注2. 若数列{x
n
}有两个子列{x
p
},{x
q
}均收敛于 a，且这两个子列合起来
就是原数列，则原数列也收敛于 a。
注3. 性质 3 提供了证明了某数列发散的方法，即用其逆否命题：若能从
该数列中选出两个具有不同极限的子列，则该数列必发散。
4. （对有限变动的不变性）若数列{x
n
}收敛于 a，则改变{x
n
}中的有限项所
得到的新数列仍收敛于 a。
5. （保序性）若
lim ,lim
nn
nn
x a y b
，且 a<b，则存在 N，当 n>N 时，有
x
n
<y
n
。
判别法则：
1.夹逼法则：若∃N,当 n>N 时，x
n
≤y
n
≤z
n
，且
lim
n
x
n
=
lim
n
z
n
=a, 则
lim
n
y
n
=a。
2.单调收敛原理：单调有界数列必收敛。
注：任何有界的数列必存在收敛的子数列。
3.柯西收敛准则：数列{x
n
}收敛的充要条件是：对于任意给定的正数 ε，都存
在正整数 N ，使得当 m，n>N 时，有|x
m
-x
n
|<ε。
1.3 函数的极限
性质：极限唯一性，局部有界性，局部保序性。
判别法则：
1.夹逼 法 则 ： 若
00
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x h x A
，且存在 x
0
的 某 一 去 心 邻 域
00
( , ) ( , )
oo
U x x U x
，使得
，均有 f(x)≤g(x)≤h(x)，则
0
lim ( )
xx
g x A
。
2.单调收敛原理：单调有界函数必收敛。
3. 柯西收敛准则：函数 f(x)收敛的充要条件是：∀ε>0, ∃>0, ∀x’,x’’∈
0
( , )
o
Ux
,
有|f(x’)-f(x’’)|<ε。
4.海涅(Heine)归结原则：
0
lim ( )
xx
f x A
的充要条件是：对于任何满足
0
lim
n
n
xx
的数列{x
n
}，都有
lim ( )
n
n
f x A
。
归结原则对于验证函数在某点没有极限是较方便的，例如可以挑选一个
收敛于该点的自变量 x 的数列{x
n
}，而相应的函数值数列{f(x
n
)}却不收敛；或
者选出两个收敛于该点的数列{x
n
},{x’
n
}，而相应的函数值数列{f(x
n
)},{f(x
n
)}
却具有不同的极限。
1.4 无穷小与无穷大
若
0
()
lim
()
xx
x
l
x
，当
0
0
1
l
时，则称 x→x
0
时称 α(x) 是 β(x) 的
( ) ( ( ))
( ) ( ( ))
( ) ~ ( )
x o x
x O x
xx
高阶无穷小，记作
同阶无穷小，记作
等阶无穷小，记作
常用等价无穷小
2
sin tan arcsin arctan 1ln(1 ) ~
1
1 cos ~ (1 ) 1~ 1~ ln
2
x
ax
x x x x e x x
x x x ax a x a
若 f(x=0), f’(0)≠0,则
2
0
1
( ) (0)
2
x
f t dt f x
确定等价无穷小的方法：1.洛必达法则，2.泰勒公式
1.5 连续函数
极限存在⇔左右极限存在且相等。
连续⇔左右极限存在且相等，且等于该点函数值。
简断点：1.第一类间断点，左右极限不相等，或相等但不等于该点函数值；2.
左右极限至少有一个不存在。
闭区间上连续函数的性质：有界性，最值性，介值性，零点存在定理。
1.6 常见题型
求极限的方法：1.四则运算；2.换元和两个重要极限；3.等价无穷小替换；4.
泰勒公式；5.洛必达法则；6.利用函数极限求数列极限；
7.放缩法；
求极限
lim
n
n
x
,就要将数列 xn 放大与缩小成：z
n
≤x
n
≤y
n
.
8.求递归数列的极限
(1)先证递归数列{a
n
}收敛（常用单调收敛原理），然后设
lim
n
n
xA
, 再对递
归方程
1
()
nn
a f a
取极限得 A=f(A), 最后解出 A 即可。
(2)先设
lim
n
n
xA
，对递归方程取极限后 解得 A，再用某种方法证明
lim
n
n
aA
。
第 2 章 导数与微分
2.1 求导法则和求导公式
求导法则：
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