复高斯分布
1.
一维复高斯随机变量
如果实随机变量 X 和 Y 都服从高斯分布，而且是不相关的（这时也是独立的），均值分别为 m
x
和 m
y
，方
差都为
σ
2
，则其联合概率密度函数（probability density function，pdf）为：
2
2
XY
22
1
, exp
22
xy
xm ym
p xy
(1)
对应的复随机变量 Z=X+iY 则称为复高斯随机变量。Z 的均值 m
z
和方差
2
z
分别为：
m
z xy
E Z E X iY E X iE Y m im
(2)
2
*
2
zz
2
2
2
Z-m
2
z xy
xy
E Z m E X m iY m
EX m EY m
(3)
特殊的，当均值m
x
和m
y
均为 0 时，复随机变量Z称为（零均值）循环对称复高斯(Zero Mean Circular Symmetric
Complex Gaussian, ZMCSCG)随机变量
1
图 1 二维高斯分布
当实部虚部随机变量都是不相关的高斯 RV，且具有相同方差，则复高斯随机变量 Z=X+iY 的概率密度函数
为：
。
σ
2
称为Z的每个实数维上的方差(variance per real dimension)。
2
22
2
22
zz
1
exp
22
1
exp
z
z
z
zm
pz
zm
＝
(4)
1
其实这里没有必要强调零均值，因为由后面循环对称的定义，Z 一定是零均值的。
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