密码学焦点：基础数论入门

"这是一本初步的数论教材，特别关注密码学应用，由Jonathan A. Poritz基于Wissam Raji的作品编写。教材涵盖了数论的基础知识，如同余、素数、中国剩余定理、威尔逊定理、费马小定理以及欧拉的 Phi 函数等。教材是免费的，适用于大学本科教学，并在2014年春季在科罗拉多州立大学-普韦布洛分校的Math319课程中使用。作者感谢那学期的学生们提供了许多有用的建议和发现的错误。" 数论是数学的一个分支，主要研究整数的性质，它在密码学中扮演着至关重要的角色，因为许多加密算法都基于数论原理。以下是教材中涉及的一些核心知识点： 1. **基础知识**：数论的起点通常是对整数的理解，包括它们的加法、减法、乘法和除法规则。教材可能会介绍整数的正负性、整除性、最大公约数和最小公倍数等概念。 2. **同余**：同余是数论中的一个基本概念，它描述了两个整数在模意义下的等价关系。例如，如果两个整数除以某个正整数后余数相同，我们就说它们在模该整数下是同余的。同余理论是解决模算术问题的关键工具。 3. **素数**：素数是大于1且只有1和自身两个正因数的自然数。素数在密码学中特别重要，因为它们是公钥密码系统如RSA的基础。 4. **中国剩余定理**：这是一个关于同时解多个同余方程的问题。中国剩余定理提供了一个算法，可以找到满足一系列同余条件的整数解。 5. **威尔逊定理**：这个定理指出，如果p是素数，那么(p-1)! ≡ -1 (mod p)。这个结果在素性测试和某些密码算法中有用。 6. **费马小定理**：费马小定理是数论中的一个重要定理，它表明如果p是素数，a是不被p整除的任意整数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。这个定理是许多快速幂运算和素性测试的基础。 7. **欧拉的 Phi 函数**：欧拉的 Phi 函数φ(n)表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的数量。这个函数在计算群论和加密算法中都有应用，比如欧拉定理和欧拉-菲利克斯定理。 这些知识点构成了数论的基石，对于理解和设计安全的密码系统至关重要。通过学习这本教材，学生不仅能掌握数论的基本概念，还能深入理解它们如何应用于实际的密码学问题中。