Contents
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Preface
vii
About the Author ix
Chapter 1. Some Set Theoretical Notions 1
1. Introduction. Sets and the ir Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Operations on Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Problems in Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Log ic al Quantifiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4. Relation s (Correspondences) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Problems in the Theory of Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5. Map pings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Problems on Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
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6. Composition of Relations and Mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Problems on the Composition o f Re la tion s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
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7. Equivalenc e Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Problems on Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8. Sequ ences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Problems on Sequences. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42
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9. Some Theorems on Countable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Problems on Countable and Uncountable Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Chapter 2. The Real Number System 51
1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2. Axioms of an Ordered Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3. Arithmetic O perations in a Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4. Inequalities in an Ordered Field. Absolu te Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
Problems on Arithmetic Operations and Inequalities in a Field . . . . 62
5. Natural Numbe rs. Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3
6. Indu ction (continued) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Problems on Natural Numbers a nd Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
7. Integers and R a tionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Problems on Integers and Rationals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8. Bounded Sets in an Ordered Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
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