小波分析的要点：
1. 目的
小波分析是一个强有力的统计工具，最早使用在信号处理与分析领域中，通过对声音、
图像、地震等信号进行降噪、重建、提取，从而确定不同信号的震动周期出现在哪个时间
或频域上。现在广泛的应用于很多领域。
在地学中，各种气象因子、水文过程、以及生态系统与大气之间的物质交换过程都可
以看作是随时间有周期性变化的信号，因此小波分析方法同样适用于地学领域，从而对各
种地学过程复杂的时间格局进行分析。如，温度的日变化周期、年变化周期出现在哪些事
件段上，在近 100 年中，厄尔尼诺-拉尼娜现象的变化周期及其出现的时间段，等等。
2. 方法
小波变换具有多分辨率分析的特点，并且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。
小波变换通过将时间系列分解到时间频率域内，从而得出时间系列的显著的波动模式，即
周期变化动态， 以及周期变化动态的时 间格局（ Torrence and Compo, 1998 ）。小波
（Wavelet），即小区域的波，是一种特殊的、长度有限，平均值为零的波形。它有两个特
点：一是“小”，二是具有正负交替的“波动性”，即直流分量为零。小波分析是时间（空间）
频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，能自动适
应时频信号分析的要求，可聚焦到信号的任意细节。小波分析将信号分解成一系列小波函
数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波（mother wavelet）函数经过平移与尺度伸缩
得来的。用这种不规则的小波函数可以逼近那些非稳态信号中尖锐变化的部分，也可以去
逼近离散不连续具有局部特性的信号，从而更为真实的反映原信号在某一时间尺度上的变
化。小波分析这种局部分析的特性使其成为对非稳态、不连续时间序列进行量化的一个有
效工具（Stoy et al., 2005）。
小波是一个具有零均值且可以在频率域与时间域内进行局部化的数学函数（Grinsted et
al., 2004）。一个小波被称为母小波（ mother wavelet），母小波可沿着时间指数经过平移
与尺度伸缩得到一系列子小波。子小波可以通过尺度（s，频率的反函数）函数和时间
（n）位置或平移来描述。利用一系列子小波，一个信号可以在不同的时间尺度上进行计算
并显示出详细的特征尺度。拉伸更大的小波窗口，使其宽度更大便可以分析时间系列中波
动较大的部分并捕捉大尺度（低频）事件的特征。相反，压缩较小的窗口将包含小尺度
（高频）的事件信息。当信号被子小波相乘，被 s 与 n 唯一的表达，我们可以计算出信号
在时间频率域一个具体位置的系数。如果信号在时间 n 上的谱成分可以与小波 s 比较，那
么计算的小波系数具有相对较大的值。在其它 n 与 s 的组合（如其它的子小波）上都进行
这样的计算，那么将会产生一系列系数（小波变化）来表达信号在时间频率域内的分解。
通过这样的变化便可得到时间系列的波动模式（周期变化模式）以及这些模式随时间的变
化（Furon et al., 2008; Jevrejeva et al., 2003）。
小波变化可以分为连续小波变化（the Continuous Wavelet Transform, CWT）与离散小波
变换（Discrete Wavelet Transform, DWT）。离散小波变化 DWT 是数据的紧凑表示，长用
于 降 噪 与 数 据压 缩。 连续 小波 变化 CWT 更 适 合 于 信 号 特 征 的 提 取 （ Grinsted et al.,
2004）。 CWT 作为时间系列间歇式波动特征提取的工具被广泛的应用的地球物理 学研究
中（Grinsted et al., 2004; Furon et al., 2008）。
（1）连续小波变换 CWT
可以将具有等时间步长 δt 的离散时间系列 x
n
(n=1,…, N)的连续小波变换定义为小波函
数 ψ
0
尺度化以及转换下的 x
n
的卷积：
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