非线性最小二乘法：飞机的最准确的定位
第一部分：引言
如下图所示，我们给出了一个简化的近代飞机飞行的典型状况。一架飞机处于一个未知的位置并且收到了从
不同信号台发来的信息。我们的目的是组建一个模型以获得的信息计算飞机的最准确的位置。
图：一架飞机和四个信号台的例子
三个信号台是VOR型的(Very high frequency OmniRange)。VOR型信号台容许飞机得到从信号台到飞机的方
位角。换句话说θ
1
, θ
2
, θ
3
对飞机是已知的。DME型信号台(Distance Measureing Equipment)通过由它发出并
返回的信号，可以测量出飞机到信号台的距离。在本例中，距离是864.3±2km。
每一个测量值及其误差被给出了。测量值的标准表示是m±n。这意味着被测量值的真实值在m-n和m+n之
间。不同的学科对于说法 "在...之间"有不同的解释。它可能是一个绝对的陈述，即，真值总是在两个界限之
间，或者是一个统计学的陈述，即，真值以z%的概率在两个界限之间。通常我们假使误差服从正态分布，其
均值是m，标准差为n。对于我们的分析，使用哪一个误差的定义是无所谓的，但规定所有的测量值都使用同
一个定义。
我们将简化所讨论的问题，只考虑二维的情况。我们将不考虑高度，高度的数据可由另外的仪器得到，并且
它使我们的例子更加复杂，这是不必要的。
我们用x和y表示飞机的未知坐标。容易看出，任何一对VOR/DME的读数都将给出我们计算飞机位置的足够的
信息。对于四组数据来说，这个问题是超定的。因为测量值不是精确的，我们希望使用所有的信息来计算x和
y，以得到更加准确的结果。
输入数据列在如下的表中：
有关对象 x - 坐标 y - 坐标 测量数值 误 差
VOR - 1 x
1
= 746 y
1
= 1393 θ
1
= 161.2 σ
1
= 0.8
VOR - 2 x
2
= 629 y
2
= 375 θ
2
= 45.10 σ
2
= 0.6
VOR - 3 x
3
= 1571 y
3
= 259 θ
3
= 309.0 σ
3
= 1.3
DME x
4
= 155 y
4
= 987 d
4
= 864.3 σ
4
= 2.0
飞机 x y
对于这些原始数据，我们令：
θ = {161.2, 45.10, 309.0};
σ = {0.8, 0.6, 1.3, 2.0};
X = {746, 629, 1571, 155};
Y = {1393, 375, 259, 987};
d4 = 864.3;
注：在航空领域，角度的标准测量是从正北开始沿顺时针方向，以度为单位。这与三角学的测量是不同
的，在三角学中，是从东方开始沿逆时针方向，以弧度为单位。因此，必须注意从度到弧度的转换和选择正
确的象限。
第二部分：组建最小二乘方程
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