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《随机过程》考研考博专业课总结

电子科大081002信号处理专业课之一,考其他学校的同学也可以参考,需要学习这门课程的同学也可以看看。
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I
随机过程总结
目次
1 序言 .................................................................................................................................. 1
1.1 简介 ........................................................................................................................ 1
1.2 版权 ........................................................................................................................ 1
2 公共基础知识 ................................................................................................................... 2
2.1 不定积分 ................................................................................................................ 2
2.2 定积分 .................................................................................................................... 3
2.3 Gama 函数 .............................................................................................................. 4
2.4 级数 ........................................................................................................................ 5
2.5 排列组合 ................................................................................................................ 5
2.6 三角函数 ................................................................................................................ 5
3 电容电感的压流关系 ......................................................................................................... 8
3.1 电容 ........................................................................................................................ 8
3.2 电感 ........................................................................................................................ 8
4 几个分布 ........................................................................................................................... 9
5 简答题 ............................................................................................................................ 11
5.1 随机变量、过程定义 ............................................................................................. 11
5.2 随机过程统计特征 ................................................................................................ 11
5.3 随机过程分类 ....................................................................................................... 12
5.3.1 二阶矩过程 ................................................................................................. 12
5.3.2 独立过程 .................................................................................................... 13
5.3.3 正交增量过程 ............................................................................................. 13
5.3.4 独立增量过程(可加过程) ........................................................................ 13
5.3.5 平稳过程 .................................................................................................... 13
5.3.6 平稳增量过程 ............................................................................................. 13
5.3.7 平稳独立增量过程 ...................................................................................... 14
5.3.8 马尔科夫过程(马氏过程) ........................................................................ 14
5.4 二阶矩过程均方微积分 ......................................................................................... 14
5.4.1 均方收敛性 ................................................................................................. 14

II
5.4.2 均方连续 .................................................................................................... 14
5.4.3 均方可导 .................................................................................................... 14
5.4.4 均方可积 .................................................................................................... 15
5.4.4.1 定积分 .......................................................................................................... 15
5.4.4.2 不定积分 ...................................................................................................... 15
5.5 平稳过程均方遍历性(各态历经性) .................................................................... 15
5.6 平稳信号的 PSD 与功率 ....................................................................................... 16
5.7 马尔科夫过程特性 ................................................................................................ 16
5.7.1 马尔科夫性 ................................................................................................. 16
5.7.2 离散参数马氏链定义 .................................................................................. 17
5.7.3 齐次马氏链 ................................................................................................. 17
5.7.3.1 定义与分布................................................................................................... 17
5.7.3.2 齐次马氏链状态特征量 ................................................................................. 18
6 证明题 ............................................................................................................................ 19
6.1 正态过程 .............................................................................................................. 19
6.2 维纳过程 .............................................................................................................. 20
6.2.1 维纳过程定义 ............................................................................................. 20
6.2.2 维纳过程判别 ............................................................................................. 20
6.3 泊松过程 .............................................................................................................. 21
6.3.1 泊松过程定义 ............................................................................................. 21
6.3.2 泊松过程的等价定义 .................................................................................. 21
6.3.3 泊松过程的几个概念 .................................................................................. 23
6.4 均方微积分 ........................................................................................................... 26
6.5 平稳信号通过 LTI 系统 ......................................................................................... 29
6.6 马尔科夫过程 ....................................................................................................... 30
6.6.1 C-K 方程 ..................................................................................................... 30
6.6.2 齐次马氏链状态分类 .................................................................................. 31
6.6.3 齐次马氏链状态周期 .................................................................................. 32
7 计算题 ............................................................................................................................ 35
7.1 马氏链状态空间 .................................................................................................... 35

III
7.2 C-K 方程的矩阵形式 ............................................................................................. 38
7.3 概率分布的矩阵形式 ............................................................................................. 39
7.4 概率转移矩阵 ....................................................................................................... 39
7.4.1 理论基础 .................................................................................................... 39
7.4.2 例题 ........................................................................................................... 41
7.5 齐马链遍历性与极限分布 ..................................................................................... 42
7.6 齐马链遍历性定理 ................................................................................................ 43
7.7 平稳信号通过 LTI 系统 ......................................................................................... 45
7.7.1 结论总结 .................................................................................................... 45
7.7.2 例题 ........................................................................................................... 45
7.8 参数随机的正余弦信号 ......................................................................................... 46
7.8.1 类型 1 ......................................................................................................... 47
7.8.2 类型 2 ......................................................................................................... 47
7.8.3 种类 3 ......................................................................................................... 47
7.8.4 种类 4 ......................................................................................................... 47
7.9 时间相关、平均及遍历性定理 .............................................................................. 48
7.9.1 一般过程 .................................................................................................... 48
7.9.2 各态历经充要充分条件 ............................................................................... 48
7.10 平稳过程均方微积分与充要条件 ......................................................................... 50
7.10.1 充要条件 .................................................................................................. 50
7.10.2 例题 ......................................................................................................... 50
7.11 二阶矩过程均方微积分与充要充分条件 .............................................................. 57
7.11.1 充要条件与定义 ........................................................................................ 57
7.11.2 例题 .......................................................................................................... 59

1
随机过程总结
1
序言
1.1
简介
本文档是根据电子科技大学(成都)2016 年博士生入学考试《随机过程》大纲所总结的
知识点。针对每个知识点,都以若干道题目作出解释。本文档不仅给欲求学成电的同学一个
参考,也可作为考取其他目标院校同学的一份参考资料。此外,本文档也是所有教学《随机
过程》这门课的老师和学生的参考资料。
本文档没有非常正式的格式和排版,内容上也难免出现纰漏甚至不当,欢迎广大师生和专
家给作者指出,谢谢!
1.2
版权
严格来讲,这个世界上任何作品都没有版权,所谓的版权也只在一个有限的空间和时间
内,表面上属于某个人或某个团体。所以本文档也没有永久的版权。
作者在上传该作品后,会给下载者设置一定的障碍,如果您觉得本文档对您的帮助很大,
想进一步给予作者酬劳,或有其他任何疑问和需要,请致信作者。
联系方式:doudouamtf@qq.com
作者:
怪味豆
2018 年 10 月于四川成都

2
2
公共基础知识
这一部分内容可直接背诵,因为当时作者在同时复习《信号与系统》和《随机过程》这 2
门课,发现这部分内容 2 门课均会常常涉及到,直接背诵能省很多事,所以命名为:“公共基
础知识”。
2.1
不定积分
( )
(
)
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
,n0
n
n
hx
fx
gx
h xgx nhxg x
fx
gx
+
= ∀≥∈
′′
−
′
=
(1)
( )
( )
{ }
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
ee
ee ,
gx gx
ax ax
fx f x gxfx
fx f x afx a
′
′′
=⋅+
′
′
= ⋅ + ∀∈
(2)
( )
( )
2
2
11
cos sin 2
24
11
sin sin 2
24
x dx x x
x dx x x
= +
= −
∫
∫
(3)
( )
( )
cos cos sin
sin sin cos
x x dx x x x
x x dx x x x
= +
= −
∫
∫
(4)
( )
( )
2
22
23
11
e e ,0
1 22
e e ,0
ax ax
ax ax
x dx x a
aa
x dx x x a
aaa
= − ∀≠∈
= − + ∀≠∈
∫
∫
(5)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
22
22
e sin e sin cos 0 ,
e cos e cos sin 0 ,
ax ax
ax ax
ba
bx dx bx bx b a
ab b
ba
bx dx bx bx b a
ab b
= − ≠∈ ∈
+
= + ≠∈ ∈
+
∫
∫
(6)
1
2dx x
x
=
∫
(7)
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