9 Functions of a Complex Variable 202
9.1 Curves and Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.2 Cartesian and Modulus-Argument Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.3 Graphing Functions of a Complex Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.4 Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
9.5 Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.6 Branch Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
10 Analytic Functions 303
10.1 Complex Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.2 Cauchy-Riemann Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
10.3 Harmonic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
10.4 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
10.4.1 Categorization of Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
10.4.2 Isolated and Non-Isolated Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
10.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
10.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
10.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
11 Analytic Continuation 356
11.1 Analytic Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
11.2 Analytic Continuation of Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
11.3 Analytic Functions Defined in Terms of Real Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
11.3.1 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
11.3.2 Analytic Functions Defined in Terms of Their Real or Imaginary Parts . . . . . . . . . . . 369
11.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
11.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
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