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第九章
第九章
线性系统
线性系统
的
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状态空间
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分析与综合
分析与综合
9
9
-
-
1
1
线性系统的
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状态空间描述
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9
9
-
-
2
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线性系统的
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可控性与可观性
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9
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-
-
3
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线性定常系统的
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反馈结构
反馈结构
及
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状态观测器
状态观测器
9
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-
-
4
4
李雅普诺夫
李雅普诺夫
稳定性分析
稳定性分析
9
9
-
-
5
5
控制系统状态空间设计
控制系统状态空间设计

⑵由系统微分方程建立状态空间表达式
①系统输入量中不含导数项 (单输入-单输出)
分别为输出、输入。 为系统特性确定
的常系数。由于给定 个初值 及
的 时,可唯一确定 时系统的行为,可选取 个
状态变量为
() ( 1) ( 2)
12 100
nn n
nn
yay ay ayayu
β
−−
−−
++ +++=
"
,yu
01 1 0
,,, ,
n
aa a
β
−
"
n
(1)
(0), (0), , (0)
n
yy y
−
"
0t ≥
()ut
0t >
(1)
12
,,,
n
n
xyxy xy
−
== =
"
n
12
23
1
01 12 1 0
1
nn
nnn
xx
xx
xx
x
ax ax a x u
yx
β
−
−
=
⎧
⎪
=
⎪
⎪
⎪
⎨
=
⎪
⎪
=− − − − +
⎪
=
⎪
⎩
#
"

向量
向量
—
—
矩阵
矩阵
形式:
xAxbu
=
+
ycx
=
1
2
1n
n
x
x
x
x
x
−
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
#
012 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
n
A
aaa a
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−−− −
⎣
⎦
"
"
### #
"
"
0
0
0
0
b
β
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
#
[]
1 0 0c = "
() ( 1) ( 2)
12 100
nn n
nn
yay ay ayayu
β
−−
−−
++ +++=
"

10
211 0 1
322 0 1 2
(2) (2) (3)
122 0 1 2
(1) (1) (2)
11 0 1 1
nnn
nnn n
nnn
nn n n
xyhu
xxhuyhuhu
x x hu yhuhuhu
xxhu
y
hu hu h u
xx hu
y
hu hu h u
−−−
−−− −
−−−
−− −
=−
⎧
⎪
=− =− −
⎪
⎪
=− =− − −
⎪
⎨
⎪
⎪
=− = − − −−
⎪
=− = − − −−
⎪
⎩
#
"
"
②系统输入量中含有导数项 (单输入-单输出)
一般输入导数项的次数小于或等于系统的阶数 n 。首
先研究 时的情况。为了避免在状态方程中出现输入
导数项,可按如下规则选择一组状态变量,设
() ( 1) ( 2)
12 10
nn n
nn
yay ay ayay
−−
−−
++ +++
"
() ( 1)
110
nn
nn
bu b u bu bu
−
−
=+ +++
"
0
n
b
≠
10
11
2,3, ,
ii i
xyhu
xx hui n
−−
=−
⎧
⎨
=− =
⎩
"

是n个待定常数。
输出方程:
其余
n
n
-
-
1
1
个状态方程
个状态方程
:
将 均以 及 的各阶导数表示,整理得:
012 1
,,, ,
n
hhh h
−
"
10
yxhu
=
+
121
232
11
nnn
xxhu
xxhu
xxhu
−−
=+
⎧
⎪
=+
⎪
⎨
⎪
⎪
=+
⎩
#
() () ( 1)
01 1
nnn
nn
x
yhuhu hu
−
−
=− − −−
"
(1) (2)
12 10
(
nn
nn
ay ay ayay
−−
−−
=− − − − −
"
() () ( 1)
10 0 1 1
)
nnn
nn
bu bu bu hu hu h u
−
−
++++−− −−
""
(1)
,,,
n
yyy
−
"
i
x
u
()
01 12 2 1 1 0
()
n
nnnnnn
x
ax ax a x a x b h u
−− −
=− − − − − + −
"
(1) (2)
11 10 2 2 11 20
()( )
nn
nn n nn
bhahu bhahahu
−
−
−− − −−
+−− + −− −
1112 23 10
()
nnn nn
bh ah ah ahu
−−− −−
+
+− − − −−
""
01122 1100
()
nn n n
bah ah ahahu
−− − −
+
−− −−−"
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