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RS 码及其编译码算法

指导教员：雷菁

姓名：龚政辉

第一章引言

本文介绍符号取自 )(qGF 里的里德-所罗门码（Reed-Solomon

Code，以下简称 RS 码)。RS 码是非二进制 BCH 码的一个最常用的

子类，而 BCH 码是大家所熟悉的。虽然 RS 码属于 BCH 码，但是它

却是由 Reed 和 Solomon 于 1960 年采用完全不同的方法独立构造出

来的。RS 码的最小距离等于它的奇偶校验符号数加一。

RS 码在纠正随机符号错误和随机突发错误方面非常有效，因此

被广泛应用于通信和数据存储系统中以便进行差错控制，应用领域涵

盖从深空通讯到高密度磁盘等多方面。以 RS 码作为外码，简单二进

制码作为内码的级联方式在降低译码复杂度的同时，能够提供很高的

数据可靠性。

但与二进制 BCH 码不同，RS 码的译码需要同时确定符号错误的

的位置和取值，所以它的译码更为复杂而编码算法是大体一致的。

第二章循环纠错码的基本理论

2.1 有限域(Galoias 域)基本概念及相关结论

有限域(

Galoias 域)就是域中元素的个数是有限的，元素的个数称

为域的阶。

阶有限域，用

()GF q

表示。如果

为一个素数，则集合

{

}

0,1,2, , 1q −

在模q 加法和乘法下，构成一个q 阶有限域 ()GF q 。有限

域在编码理论中具有重要的地位，下面给出

Galoias 域的几个基本概念

和相关结论。

定义 1 在域

()GF q

中，满足 0ne

的最小正整数n 称为域的特征，

e 为域的单位。

定义 2 以 q 为特征的域是

()

GF q ，

1, 2,m

…

，称

()GF q

是 ()

GF q 的

基域，

()

GF q 为

()GF q

的扩域。

域中一切非零元素的特征都等于域的特征，且域的特征一定为素

数。非零元素构成的乘法群的阶定义为域中该元素的级。若

为域

()GF q

中的n 级元素，则称

为 n 次单位原根。若某一元素

的级为

1q −

，则称

为本原域元素。域的特征表明了域中加法运算的循环性，

而域的级则表明了域中乘法运算的循环性。

下面给出几个有限域的相关结论。

定理 1 在

()GF q

中，每一个非 0 元素均满足

−

= 。

定理 2 在特征为 q 的域中，恒有

()

qqq

axa

−

=−，式中，a 是域中

的任一元素。

定理 3 有限域

()GF q

中的

−

个非零元素构成一个循环群，它其

中至少有一个本原元，它的其它元素分别为这个本原元的

j 次幂构成

0,1, , 2jq=−

。

2.2 有限域上的多项式

有限域GF(q)上的

n 次多项式定义为：

110

() ,

() 0,1,2, ,

xfxfx fxf

fGFpi n

−

=+ +++

∈=



…

(2.1)

定理 4 给定任意两个多项式

(), ()

xgx

为

()GF q

上的多项式，一定

存在有唯一的多项式

()qx

和

()rx

使

() ()() () 0 () () () 0fx qxgx rx rx gx or rx= + ≤∂ <∂ = (2.2)

定义

设

()

是次数大于零的多项式，如若除了常数和常数本身

的乘积以外，再不能被域

()GF q

上的其它多项式除尽，则称

()

为域

()GF q

上的既约多项式。

定理

每一个首一多项式

()

必可分解为首一既约多项式之积，

并且当不考虑因式的顺序时，这种分解是唯一的，即：

() () () ()

xpxpx px

αα

= 

(2.3)

式中，

()

x 为首一既约多项式，

是某一正整数， 1, 2, ,is

 。

定义4 若

(

)

(), (), ,()

xgx kx

是同时除尽多项式 (), (), ,()

xgx kx 的

次数最高的首一多项式，则称

(

)

(), (), ,()

xgx kx

是 (), (), ,()

xgx kx 的最

大公因式，用

(

)

(), (), ,()

xgx kx

表示之。

定理 6 多项式的欧几里德算法

(

)

(), () () () ()()

xgx Axfx Bxgx=+ (2.4)

式中

(

)

()

0()() (),()

Ax gx f x gx

xfx fxgx

≤∂ <∂ −∂



定义 5 若

()GF q

上的多项式上

()ax

、

()bx

被同一多项式

()

除时有

相同的余式：

() () () ()

0() ()

() () () ()

ax q xf x rx

rx f x

bx q x f x rx

≤∂ <∂

 (2.5)

则称

()ax

、

()bx

关于

()

同余，记为

(

)

() () mod ()ax bx f x≡ (2.6)

定理 7 若

(0)n >

次首一多项式

()

在域

()GF q

上既约，则由模

()

所组成的多项式剩余类环是一个有

q 个元素的有限域 ()

GF q 。

定理 8 设

()

为

()GF q

上的多项式，若

特征域的的元素

是方

程

() 0fx= 的根，则对于一切自然数n 、

也必是 ()

x 的根。

定义 6 系数取自

()GF q

上，且以 ()

GF q

∈ 为根的所有首一多项式

中，必有一个次数最低的，称它为

的最小多项式。

定理 9 在

特征有限域中的每一个元素

，皆存在有唯一的最小

多项式，记为

()mx

，则它具有如下性质：

(1)

()mx

在

()GF q

域上既约；

(2) 若

()

x 也是

,, ,,

pp p

ωω ω ω

−

 上的多项式，且 () 0f

= ，则

()| ()mx f x

。

定理 10 设

为

特征有限域 ()

GF q 中的n 级元素，而m 是

关于

模

n 的方次数，则

的最小多项式

()mx

是m 次多项式，且

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