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Mathematics for Computer Science 2015

Mathematics,

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919页

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“mcs” — 2015/5/18 — 1:43 — page i — #1

Mathematics for Computer Science

revised Monday 18

May, 2015, 01:43

Eric Lehman

Google Inc.

F Thomson Leighton

Department of Mathematics

and the Computer Science and AI Laboratory,

Massachussetts Institute of Technology;

Akamai Technologies

Albert R Meyer

Department of Electrical Engineering and Computer Science

and the Computer Science and AI Laboratory,

Massachussetts Institute of Technology

2015, Eric Lehman, F Tom Leighton, Albert R Meyer. This work is available under the terms of the Creative Commons

Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 license.

“mcs” — 2015/5/18 — 1:43 — page ii — #2

“mcs” — 2015/5/18 — 1:43 — page iii — #3

Contents

I Proofs

Introduction 3

0.1 References 4

1 What is a Proof? 5

1.1 Propositions 5

1.2 Predicates 8

1.3 The Axiomatic Method 8

1.4 Our Axioms 9

1.5 Proving an Implication 11

1.6 Proving an “If and Only If” 13

1.7 Proof by Cases 15

1.8 Proof by Contradiction 16

1.9 Good Proofs in Practice 17

1.10 References 19

2 The Well Ordering Principle 27

2.1 Well Ordering Proofs 27

2.2 Template for Well Ordering Proofs 28

2.3 Factoring into Primes 30

2.4 Well Ordered Sets 31

3 Logical Formulas 41

3.1 Propositions from Propositions 42

3.2 Propositional Logic in Computer Programs 45

3.3 Equivalence and Validity 48

3.4 The Algebra of Propositions 50

3.5 The SAT Problem 55

3.6 Predicate Formulas 56

3.7 References 61

4 Mathematical Data Types 81

4.1 Sets 81

4.2 Sequences 86

4.3 Functions 87

4.4 Binary Relations 89

4.5 Finite Cardinality 93

“mcs” — 2015/5/18 — 1:43 — page iv — #4

iv Contents

5 Induction 115

5.1 Ordinary Induction 115

5.2 Strong Induction 124

5.3 Strong Induction vs. Induction vs. Well Ordering 129

5.4 State Machines 130

6 Recursive Data Types 173

6.1 Recursive Deﬁnitions and Structural Induction 173

6.2 Strings of Matched Brackets 177

6.3 Recursive Functions on Nonnegative Integers 180

6.4 Arithmetic Expressions 183

6.5 Induction in Computer Science 188

7 Inﬁnite Sets 205

7.1 Inﬁnite Cardinality 206

7.2 The Halting Problem 215

7.3 The Logic of Sets 219

7.4 Does All This Really Work? 222

II Structures

Introduction 241

8 Number Theory 243

8.1 Divisibility 243

8.2 The Greatest Common Divisor 248

8.3 Prime Mysteries 254

8.4 The Fundamental Theorem of Arithmetic 257

8.5 Alan Turing 259

8.6 Modular Arithmetic 263

8.7 Remainder Arithmetic 265

8.8 Turing’s Code (Version 2.0) 268

8.9 Multiplicative Inverses and Cancelling 270

8.10 Euler’s Theorem 274

8.11 RSA Public Key Encryption 279

8.12 What has SAT got to do with it? 281

8.13 References 282

9 Directed graphs & Partial Orders 317

9.1 Vertex Degrees 319

9.2 Walks and Paths 320

“mcs” — 2015/5/18 — 1:43 — page v — #5

v Contents

9.3 Adjacency Matrices 323

9.4 Walk Relations 326

9.5 Directed Acyclic Graphs & Scheduling 327

9.6 Partial Orders 335

9.7 Representing Partial Orders by Set Containment 339

9.8 Linear Orders 340

9.9 Product Orders 340

9.10 Equivalence Relations 341

9.11 Summary of Relational Properties 343

10 Communication Networks 373

10.1 Complete Binary Tree 373

10.2 Routing Problems 373

10.3 Network Diameter 374

10.4 Switch Count 375

10.5 Network Latency 376

10.6 Congestion 376

10.7 2-D Array 377

10.8 Butterﬂy 379

10.9 Benes Network

381

11 Simple Graphs 393

11.1 Vertex Adjacency and Degrees 393

11.2 Sexual Demographics in America 395

11.3 Some Common Graphs 397

11.4 Isomorphism 399

11.5 Bipartite Graphs & Matchings 401

11.6 The Stable Marriage Problem 406

11.7 Coloring 413

11.8 Simple Walks 417

11.9 Connectivity 419

11.10 Forests & Trees 424

11.11 References 433

12 Planar Graphs 473

12.1 Drawing Graphs in the Plane 473

12.2 Deﬁnitions of Planar Graphs 473

12.3 Euler’s Formula 484

12.4 Bounding the Number of Edges in a Planar Graph 485

12.5 Returning to K

and K

3;3

486

12.6 Coloring Planar Graphs 487

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