傅里叶变换和傅里叶级数之间的区别与联系 - CSDN文库

傅里叶变换

48 浏览量更新于2023-05-30 3 收藏 351KB PDF 举报

傅里叶变换和傅里叶级数之间的区别与联系，详细推导和个人理解。我的CSDN博客中也有这一篇文章。

傅里叶变换和傅里叶级数的区别与联系（后续更新补充 DTFT、DFS）

傅里叶级数仅适用于周期信号，傅里叶变换可以视作傅里叶级数的延伸，可以用于

分析非周期信号的频谱特性。事实上，引入冲击函数后，周期信号也可以进行傅里

叶变换。

傅里叶级数：所有周期信号都可以分解为不同频率的各次谐波分量。

傅里叶变换：非周期信号可以看作不同频率的余弦分量叠加，其中频率分量可以是

从 0 到无穷大任意频率，而不是像傅里叶级数一样由离散的谐波分量组成。

下面考虑这几个问题：

 如何由傅里叶级数延伸出傅里叶变换？

 周期信号的傅里叶变换与傅里叶级数的关系。

1. 如何由傅里叶级数延伸出傅里叶变换？

傅里叶级数的定义：

 

 

2

2

1

d

T

jn t

T

n

jn t

n

n

F f t e t

T

f t F e

































----------------(1)

由(1)知，相邻谱线之间的间隔为

2

=

T





，频率分量的幅度

 

2

2

1

d

T

jn t

T

n

F f t e t

T









.

而对于非周期信号，

T 

，故

0

，相邻谱线的间隔趋近于无穷小，从而信

号的频谱密集成连续频谱，同时，各频率分量的幅度

   

 

22

22

2

2

11

dd

1

d0

TT

jn t jn t

TT

n

T

T

F f t e t f t e t

TT

f t t

T

   













（狄里赫利条件：周期内可积）

也都趋近于无穷小。

为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度函数（单位频率上的频谱）：

----------------(2)

根据小量变化，

dw

，得到傅里叶级数的表达式：

三水难忘原创

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