线性空间与线性变换基础

"线性代数第四章介绍了线性空间和线性变换的概念，包括线性空间的定义、基和维数、欧几里得空间、线性变换以及正交变换。" 线性空间是线性代数中的核心概念，它是由一个非空集合V和一个数域F组成，如实数域或复数域。在线性空间中，对于集合V的任意两个元素α和β，可以进行加法运算得到新的元素α + β，同时数域F中的任意元素k可以与V中的元素相乘得到kα。这些运算必须满足以下八条基本规则： 1. 加法交换律：α + β = β + α。 2. 加法结合律：(α + β) + γ = α + (β + γ)。 3. 存在零向量：存在一个元素0，使得对所有α ∈ V，都有α + 0 = α。 4. 每个元素都有逆元：对每个α ∈ V，存在元素-α，使得α + (-α) = 0。 5. 单位元乘法规则：1α = α = α1，其中1是数域F的单位元。 6. 数乘结合律：(k + l)α = kα + lα。 7. 分配律：k(α + β) = kα + kβ，(k + l)α = kα + lα。 8. 右分配律：k(αβ) = kαβ。 线性空间的实例包括但不限于：数域上的矩阵集合，次数小于某个常数的多项式集合等。线性空间的特殊形式，如实数域上的线性空间称为实线性空间，复数域上的线性空间称为复线性空间。 线性空间的基是一组线性无关的向量，通过它可以表示空间中的任何其他向量。维数是基中向量的数量，它定义了线性空间的“大小”。例如，n维欧几里得空间R^n的基包含n个互相垂直的标准基向量，其维数为n。 线性变换是线性空间到自身的函数，它保持加法和数乘运算的性质，即T(α + β) = T(α) + T(β) 和 T(kα) = kT(α)。正交变换是线性变换的一种，它保持向量间的夹角和长度不变，特别地，当数域是实数时，正交变换对应的矩阵具有单位行列式和转置等于其逆的特性。 理解线性空间和线性变换的概念对于深入学习线性代数至关重要，它们在各种数学和工程领域，如信号处理、量子力学、计算机图形学和机器学习中都有着广泛的应用。