线性空间与线性变换基础
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更新于2024-07-08
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"线性代数第四章介绍了线性空间和线性变换的概念,包括线性空间的定义、基和维数、欧几里得空间、线性变换以及正交变换。"
线性空间是线性代数中的核心概念,它是由一个非空集合V和一个数域F组成,如实数域或复数域。在线性空间中,对于集合V的任意两个元素α和β,可以进行加法运算得到新的元素α + β,同时数域F中的任意元素k可以与V中的元素相乘得到kα。这些运算必须满足以下八条基本规则:
1. 加法交换律:α + β = β + α。
2. 加法结合律:(α + β) + γ = α + (β + γ)。
3. 存在零向量:存在一个元素0,使得对所有α ∈ V,都有α + 0 = α。
4. 每个元素都有逆元:对每个α ∈ V,存在元素-α,使得α + (-α) = 0。
5. 单位元乘法规则:1α = α = α1,其中1是数域F的单位元。
6. 数乘结合律:(k + l)α = kα + lα。
7. 分配律:k(α + β) = kα + kβ,(k + l)α = kα + lα。
8. 右分配律:k(αβ) = kαβ。
线性空间的实例包括但不限于:数域上的矩阵集合,次数小于某个常数的多项式集合等。线性空间的特殊形式,如实数域上的线性空间称为实线性空间,复数域上的线性空间称为复线性空间。
线性空间的基是一组线性无关的向量,通过它可以表示空间中的任何其他向量。维数是基中向量的数量,它定义了线性空间的“大小”。例如,n维欧几里得空间R^n的基包含n个互相垂直的标准基向量,其维数为n。
线性变换是线性空间到自身的函数,它保持加法和数乘运算的性质,即T(α + β) = T(α) + T(β) 和 T(kα) = kT(α)。正交变换是线性变换的一种,它保持向量间的夹角和长度不变,特别地,当数域是实数时,正交变换对应的矩阵具有单位行列式和转置等于其逆的特性。
理解线性空间和线性变换的概念对于深入学习线性代数至关重要,它们在各种数学和工程领域,如信号处理、量子力学、计算机图形学和机器学习中都有着广泛的应用。
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2021-12-04 上传
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