现代电磁理论 习题三
汪海波 P0915015
一, 证明:式(3-7)可以改写为:Ψ =
r
k
x
r
k
y
A(k
x
, k
y
) exp(−jk · r)d k
x
d k
y
,其中r 为自由空间中的任意矢量.
证证证:式(3-7)表示在直角坐标系下,亥姆霍兹方程的解得积分表达形式:
Ψ =
w
k
x
w
k
y
A(k
x
, k
y
)h(k
x
)h(k
y
)h(k
z
)dk
x
d k
y
(1)
在直角坐标系下,谐函数为:h(k
x
) = exp(−jk
x
x), h(k
y
) = exp(−jk
y
y), h(k
z
) = exp(−jk
z
z),而且显然有以下等式成
立:
h(k
x
)h(k
y
)h(k
z
) = exp(−jk
x
x) exp(−jk
y
y) exp(−jk
z
z) = exp(−j(k
x
x + k
y
y + k
z
z))
= exp(−jk · r)
(2)
其中:k = k
x
e
x
+ k
y
e
y
+ k
z
e
z
, r = xe
x
+ ye
y
+ ze
z
.
将方程(2)代入方程(1)可以得到:
Ψ =
w
k
x
w
k
y
A(k
x
, k
y
) exp(−jk · r)d k
x
d k
y
(3)
3-1 验证式(3-49)满足式(3-48)
解解解:::(3-49)和(3-48)分别为:
Ψ = G(ρ, ρ
′
) =
j
4
H
(2)
0
(k|ρ − ρ
′
|) (4)
∇
2
Ψ + k
2
Ψ = −δ(ρ − ρ
′
) (5)
在ρ , ρ
′
的处是δ(ρ −ρ
′
)的无源区,即δ(ρ −ρ
′
) = 0,在Ψ =
j
4
H
(2)
0
(k|ρ −ρ
′
|)中,令r = |ρ −ρ
′
|, Ψ =
j
4
H
(2)
0
(k|ρ −ρ
′
|) =
j
4
H
(2)
0
(kr),显然它满足0阶的贝塞尔方程:
r
2
d
2
Ψ
dr
2
+ r
dΨ
d r
+ k
2
r
2
Ψ = 0
1
r
d
dr
(r
dΨ
d r
) + k
2
Ψ = 0
(6)
方程(6)的后一项写成亥姆霍兹方程的形式:∇
2
Ψ + k
2
Ψ = 0.即满足(3-49).
在ρ = ρ
′
处是整个场的源是场的奇异点,而波函数Ψ =
j
4
H
(2)
0
(k|ρ − ρ
′
|)在这一点也奇异。
因此我们需要证明的是:
lim
S →0
w
S
(∇
2
Ψ + k
2
Ψ)d S = −1 S 是在ρ, θ平面上包含点ρ = ρ
′
的圆盘 (7)
在小宗量渐进的条件下,汉克尔函数的可以表示为:H
(2)
0
(k|ρ − ρ
′
|) = −j
2
π
ln
kr
2
,(令r = |ρ − ρ
′
|),上面的积分可
以表示为:
lim
S →0
w
S
(
1
r
d
dr
(r
dΨ
dr
) + k
2
Ψ)d S =
2π
w
0
dθ lim
ϵ→0
ϵ
w
0
(
1
r
d
dr
(r
dΨ
d r
) + k
2
Ψ)rdr
= 2π lim
ϵ→0
ϵ
w
0
(
d
dr
(r
dΨ
dr
) + k
2
Ψr)dr
(8)
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