动态规划求解最长公共子序列算法分析

"计算最优值-pfc 5.0 manual手册版" 本文主要讨论的是计算最优值的问题，特别是在最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）算法中的应用。最长公共子序列是指两个字符串中没有对应位置字符相同的最长子序列，它不考虑字符的相对顺序。 动态规划是解决这类问题的有效方法，它通过自底向上的方式计算最优解，避免了重复计算，从而提高了算法的效率。在这个场景下，动态规划算法被命名为LCS_LENGTH(X,Y)，它接受两个序列X和Y作为输入，输出是两个二维数组c和b。数组c[i,j]存储的是X的前i个字符和Y的前j个字符的最长公共子序列的长度，而b[i,j]记录了这个长度是如何得出的，即指向了c[i,j]值的来源，这对构建最长公共子序列至关重要。 算法的主体是一个双重循环，外层循环遍历X的字符，内层循环遍历Y的字符。在循环中，如果X的第i个字符和Y的第j个字符相同，那么c[i,j]将等于c[i-1,j-1]加1，并且b[i,j]标记为"↖"，表示当前的最长公共子序列是在前一个子问题的基础上增加了一个字符。如果X的前i个字符的最长公共子序列比Y的前j个字符的最长公共子序列更长，或者两者相等，那么c[i,j]等于c[i-1,j]，b[i,j]标记为"↑"。否则，c[i,j]等于c[i,j-1]，b[i,j]标记为"←"。最后，LCS_LENGTH算法返回c和b数组。 通过LCS_LENGTH算法计算出的b数组可以用来反向构造X和Y的最长公共子序列。从b[m,n]开始，根据箭头方向在b数组中搜索，可以逐步回溯并找到最长公共子序列的每个字符。 这个算法在解决序列比对、文本编辑距离等问题中有着广泛的应用。例如，在生物信息学中，比较两个DNA序列的相似性时，最长公共子序列是一个重要的指标。在软件工程领域，代码比较和版本控制工具也可能利用这种算法来找出两个代码版本之间的最小差异。 动态规划的LCS_LENGTH算法提供了一种高效的方法来计算两个序列的最长公共子序列，通过存储和重用子问题的解，显著减少了计算复杂性，使得在实际应用中能够处理较长的输入序列。这个算法是计算机科学中经典的算法之一，对于理解和掌握动态规划思想至关重要。