整数规划详解：线性规划与求解方法

"第02章 整数规划，涉及数学建模和MATLAB应用" 整数规划是运筹学领域的一个重要分支，它主要研究在满足一系列线性约束条件下，如何优化一个线性目标函数，但这里的变量被限制为整数值，而不是连续的实数。当所有变量都必须是整数时，我们称之为纯（完全）整数规划；如果只有部分变量要求为整数，则称为混合整数规划。 整数规划的特点在于，即使原始问题（线性规划）有最优解，当变量被强制为整数时，整数规划的解可能会发生显著变化。例如，最优解可能不存在，或者虽然存在可行解，但最优解的值会变得更差。简单地将实数最优解四舍五入到最近的整数通常无法得到整数规划的最优解。 在求解整数规划问题时，有多种方法可以采用： 1. 分枝定界法：这是一种系统搜索所有可能解的有效方法，通过不断将可行解空间分割成更小的子集（分枝），并为每个子集计算目标函数的下界（定界）。通过这个过程，可以避免对那些明显不可能产生最优解的子集进行进一步的搜索，从而提高效率。 2. 割平面法：这种方法通过引入新的线性不等式来逐步缩小可行域，直到找到最优解。割平面法同样适用于纯或混合整数线性规划。 3. 隐枚举法：主要用于解决“0-1”整数规划问题，即变量只能取0或1的情况。包括过滤隐枚举法和分枝隐枚举法，它们通过巧妙的算法减少搜索空间，提高求解效率。 4. 匈牙利法：专门用于解决指派问题，这是“0-1”整数规划的一种特殊情况。匈牙利法提供了一种有效且精确的求解方案。 5. 蒙特卡洛法：这是一种基于随机模拟的方法，适用于解决各种类型的规划问题。它通过大量的随机试验来逼近最优解，但可能不保证找到全局最优解。 MATLAB作为一种强大的数学计算软件，提供了多种工具箱来支持整数规划问题的求解，包括优化工具箱中的函数，可以处理线性和非线性整数规划问题。用户可以通过编写MATLAB脚本，结合这些工具，实现对整数规划问题的建模、求解和分析。 在实际应用中，整数规划广泛应用于资源分配、生产计划、调度问题、网络设计等领域。理解和掌握整数规划的理论与方法，对于解决实际工程和管理问题具有重要意义。