清华大学讲解：确定性优化下的LMS与RLS算法详解

确定性优化在IT领域中通常与在线学习算法如LMS（Least Mean Squares）和RLS（Recursive Least Squares）算法相关联，尤其是在控制理论和信号处理中。这些算法在卡尔曼滤波框架下被广泛应用，特别是在处理线性系统时，它们能够估计和预测系统的状态，并对噪声进行有效抑制。 卡尔曼滤波器是一种递归的最小均方误差算法，主要用于处理含有噪声的动态系统中的状态估计问题。它基于以下核心概念： 1. **状态空间模型**：系统由状态向量x表示，包含不可观测的部分，状态转移矩阵F描述了系统从一时刻到下一时刻的状态变化，观测矩阵C则映射状态到可观测的测量值y。噪声向量v包括过程噪声和观测噪声。 2. **噪声假设**：通常假设噪声是高斯分布的，即过程噪声和观测噪声具有特定的协方差矩阵Q和R。 3. **问题分类**： - **滤波**（Prediction）：已知观测数据y，通过估计得到无噪声的状态估计值。 - **平滑**（Smoothing）：已知全部历史数据，计算状态的最优估计，包括历史状态。 - **预测**（Prediction）：仅基于当前状态，对未来状态进行预测。 - **一步预测**：利用当前观测数据进行即时状态更新。 4. **新息方法**：新息（innovation）是滤波过程中关键的概念，它是观测值与系统预测值之间的差异，用α表示。新息向量n与观测噪声独立，且满足正交性和白噪声特性。 5. **LMS和RLS算法**：LMS算法是非最小二乘法，它简单快速，但收敛速度可能较慢。相比之下，RLS算法通过存储过去的信息，能提供更快的收敛速度，但计算复杂度较高。 6. **信息保留**：卡尔曼滤波器通过递归更新，有效地保留了过去的信息，确保了算法的稳定性。 确定性优化在卡尔曼滤波中的应用是一种重要的统计估计技术，适用于实时处理高维动态系统中的数据，如自动驾驶、遥感和通信等领域。通过理解并掌握这些算法，工程师可以设计出更精确、实时的系统控制策略。