EM算法详解：身高分布估计中的极大似然估计策略

EM算法，全称Expectation-Maximization (期望最大化)算法，是一种用于参数估计的迭代优化方法，特别适用于那些含有隐含变量的模型。在这个例子中，我们关注的是使用EM算法来估计学校男生和女生身高分布的参数，即均值(u)和方差(∂)。 首先，假设我们有一个高斯分布模型，男生的身高遵循N(u, ∂)的分布，但这两个参数是我们需要通过观察到的数据来确定的，即参数向量θ=[u,∂]T。在实际应用中，我们并不直接知道所有个体的身高，而是基于随机抽样的100个男生身高数据来推断总体分布。 在EM算法的背景下，我们进行以下步骤： 1. **期望步(E-step)**: 在给定当前估计的参数θ的条件下，计算每个观测值对于隐变量（如“男生”或“女生”的标签）属于每个类别（u, ∂）的概率。这是因为数据中包含隐性信息，例如男生的身高可能同时受到两个参数的影响。 2. **最大化步(Maximization-step)**: 根据E步得到的每个观测值的后验概率，重新估计参数θ。这一步通常是通过对似然函数L(θ)求导并设置其等于零来实现，即最大化样本数据在给定参数下的联合概率。 3. **重复过程**: 通过不断迭代E步和M步，直到达到收敛条件，比如似然函数的变化不足以改变参数估计，或者达到了预设的迭代次数。 在这个男生身高例子中，我们的目标是找到极大似然估计量θ，即使得似然函数L(θ)达到最大，意味着在给定参数下抽到这100个男生身高数据的概率最大。这个过程通过取对数似然函数的方便形式简化分析，因为对数函数可以避免数值计算中的小数溢出问题。 EM算法通过巧妙处理隐变量和未完全观察数据，为我们提供了一种有效的参数估计方法，尤其适用于那些难以直接求解极大似然估计问题的复杂模型。通过这个实例，我们可以看到EM算法在实际问题中的应用，并理解其核心思想是如何通过迭代优化来逼近最可能的参数值。