数理统计课后答案解析：概率分布与频率分析

"哈工大研究生《数理统计》课后参考答案，包含样本的联合概率分布、样本频率分布和经验分布函数等知识点" 在数理统计的学习中，理解和掌握样本的联合概率分布是基础且重要的概念。在这个问题中，我们看到四种不同类型的总体分布及其对应的样本联合概率分布： 1. **二项分布 (Binomial Distribution)**: 当总体服从参数为 \( p \) 的二项分布时，样本 \( X_1, X_2, ..., X_n \) 的联合概率分布可以通过二项概率公式计算。对于每个 \( i \)，有 \( P(X_i = x_i) = p^{x_i}(1-p)^{1-x_i} \)，其中 \( x_i \in \{0, 1\} \)。所有可能的 \( n \) 个 \( x_i \) 的组合的概率之和构成了联合分布。 2. **泊松分布 (Poisson Distribution)**: 如果总体服从参数为 \( \lambda \) 的泊松分布，样本的联合概率分布可以用指数函数表示。对于每个 \( i \)，有 \( P(X_i = x_i) = \frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda} \)，其中 \( x_i \in \mathbb{N}_0 \)（非负整数）。同样，所有可能的 \( n \) 个 \( x_i \) 的组合的概率之和构成了联合分布。 3. **均匀分布 (Uniform Distribution)**: 当总体在区间 \( [a, b] \) 内服从均匀分布时，样本的联合概率分布可以表示为 \( f(x_i) = \frac{1}{b-a} \)，如果 \( a \leq x_i \leq b \)，否则 \( f(x_i) = 0 \)。联合分布是这些单个概率的乘积，考虑到 \( x_i \) 之间的独立性。 4. **正态分布 (Normal Distribution)**: 若总体服从均值 \( \mu \) 和方差 \( \sigma^2 \) 的正态分布，样本的联合概率密度函数为多变量正态分布，即 \( f(x_1, x_2, ..., x_n) = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{n/2}}e^{-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2/\sigma^2} \)。样本间的独立性使得联合概率密度函数是每个样本点的正态概率密度的乘积。 接下来，题目的第二个部分涉及到实际问题的应用，即研究玻璃产品在运输过程中的损坏情况。这里用到了样本频率分布和经验分布函数。样本频率分布是观察数据的简单统计总结，列出每个观测值的出现次数。例如，题目中给出的数据是：\( 0, 1, 1, 1, 2, 0, 0, 1, 3, 1, 0, 0, 2, 4, 0, 3, 1, 4, 0, 2 \)，可以构建一个表格，统计每种损坏件数发生的频数。 经验分布函数 (Empirical Distribution Function, EDF) 是样本数据的经验度量，它给出了样本值小于或等于某个值的概率。对于给定的样本，经验分布函数可以按以下方式计算：\( F(x) = \frac{\text{Number of observations less than or equal to } x}{n} \)。在本例中，可以绘制出经验分布函数的图，这将有助于理解数据的分布特征，并可能用于比较实际数据与理论分布。 通过这样的练习，学生可以深入理解不同概率分布的性质，以及如何从实际数据中提取统计信息。同时，掌握样本频率分布和经验分布函数的计算与绘图，能够帮助他们在解决实际问题时进行数据描述和初步分析。