图形变换基础：矢量、矩阵与运算

"本章节介绍了图形变换的基础知识，包括矢量、矩阵及其运算，主要聚焦在二维和三维图形变换以及光栅变换上。" 在计算机图形学中，图形变换是将几何对象从一个坐标空间转换到另一个坐标空间的过程。这一过程通常涉及到数学中的矢量和矩阵运算。以下是关于这些概念的详细解释： **矢量** 是表示大小和方向的量，通常用箭头表示。在二维空间中，一个矢量可以由它的x和y分量定义，而在三维空间中，还包括z分量。矢量的运算包括矢量的加法（两个矢量的头尾相连形成新的矢量）、数乘（一个矢量乘以标量，改变其长度而不改变方向）以及矢量的点积（两个矢量的标量乘积，结果是一个标量，表示两个矢量之间的角度关系）。 **矢量的长度** 又称为模，是矢量在欧几里得空间中的大小。单位矢量是长度为1的矢量，通常用于表示方向。两个矢量的点积等于它们的长度乘以它们之间的夹角的余弦值，这个乘积也等于一个矢量在另一个矢量上的投影乘以第二个矢量的模。 **矢量的叉积** 在三维空间中，两个矢量的叉积产生一个新的矢量，这个新矢量与原来的两个矢量垂直，并且其长度等于原两个矢量长度的乘积与它们夹角的正弦值。叉积遵循右手定则，即右手四指弯曲从第一个矢量指向第二个矢量，大拇指的方向就是叉积矢量的方向。 **矩阵** 是一组按特定顺序排列的数，通常用于表示线性变换。一个m×n矩阵包含m行n列的元素，记为A=(aij)，其中aij是第i行第j列的元素。矩阵的加法和数乘运算分别对应于相同尺寸矩阵的元素逐个相加和每个元素乘以标量。 **矩阵运算** 包括矩阵加法（两个相同维度的矩阵对应元素相加）和数乘矩阵（一个标量乘以矩阵，每个元素都乘以该标量）。矩阵在图形变换中扮演关键角色，因为它们可以用来表示缩放、旋转和平移等几何变换。 在二维图形变换中，常见的矩阵变换有平移、缩放和旋转。例如，2×2的单位矩阵表示恒等变换，而2×2的缩放矩阵可以通过主对角线上元素表示不同轴的缩放因子。在三维图形变换中，除了上述变换外，还需要考虑深度信息，这通常涉及4×4的矩阵来包含透视变换。 光栅变换是将几何形状转化为像素的过程，它涉及到坐标映射、裁剪、扫描转换等步骤，以在屏幕上准确地呈现图形。在实际应用中，如游戏开发和计算机辅助设计(CAD)等领域，理解和掌握这些基本的图形变换概念至关重要，因为它们是构建复杂视觉效果和交互的基础。