低差分一致性函数的构造与分析研究

"这篇博士学位论文主要探讨了低差分一致性函数，特别关注了在密码学和代数学领域的应用。论文作者通过深入研究，构造和分析了一系列低差分一致性函数，包括APN函数和PN函数。" 低差分一致性函数是密码学中的关键概念，它们在设计高效且安全的密码体制中扮演着重要角色。这类函数因其特殊的差分性质，能够提高密码系统的抗差分攻击能力。论文详细介绍了如何将低差分一致性函数分为几乎完全非线性（APN）函数、完全非线性（PN）函数和其他类型，并在理论和实际应用方面进行了深入探讨。 在第二章，作者通过已知的APN幂函数特例，归纳出在奇特征域中的两类新的APN幂函数，使用二次特征和Dickson多项式作为工具进行证明。这些新发现的APN函数有助于理解Helleseth提出的公开问题，并可能用于证明Dobbertin猜想。此外，作者还推广了这两类APN函数，揭示了在特定形式下的幂函数的差分一致属性，创新性地引入Dickson多项式简化了方程求解。 第三章中，作者首先讨论了特征为2的域中APN多项式函数的等价性质，随后提出了一类新的APN多项式函数，并分析了其bent属性。这个新的APN函数与Carlet、Charpin和Zinoviev以及Dobbertin的函数在特定情况下不等价，同时扩展了特征为3的APN函数到奇特征域，产生了包含已知APN函数的特例。此外，通过引入中间变量计算了一大类APN函数的Walsh谱，这有助于确定函数的非线性度，从而评估其抵抗线性分析的能力。 第四章里，作者将已知的APN多项式函数推广至奇特征域，得到PN函数的新类别，并证明其中两类PN函数不与已知的PN函数CCZ等价，从而定义了两类新的半域。在特定条件下，这些构造的半域与已知半域不同。这一章节还介绍了一种判断CCZ等价和扩张仿射等价的方法，并探讨了特定条件下Diovan多项式的差分一致性。 在第五章，作者综合运用前几章的工具和方法，构建了更多类型的低差分一致性函数。值得一提的是，作者提到了-jEdel和Pott最近发现的APN函数，但没有提供具体细节，这可能是后续研究的一个方向。 这篇论文对于理解和扩展低差分一致性函数的知识有重大贡献，尤其是在构造新的函数、证明其性质和应用潜力方面。这些研究成果对于密码学理论和实际应用的发展具有深远的影响。