分片光滑动力系统中剖分算法：整体吸引子与不稳定流形估计

本文档深入探讨了人工智能和机器学习领域中的一个重要课题——计算分片光滑系统中不变流形的剖分算法及其应用。首先，引言部分强调了不变流形在动力系统中的关键作用，如它们对复杂动力行为的影响，包括与稳定流形的交点导致的复杂动态以及与双曲周期点的联系。整体吸引子，作为一个包含所有不稳定流形的数学概念，对于理解和预测动力系统的行为至关重要。 在第二章，作者详细介绍了不变集、吸引集和整体吸引子的概念，阐述了它们之间的关系。章节进一步探讨了如何利用剖分算法来有效地估计整体吸引子，这种算法在[1]中有初步介绍，其核心在于通过分割空间并逐步逼近动力系统的全局行为。 第三章详细讲解了剖分算法的工作原理，包括算法的收敛性证明和具体实施步骤。这个算法的关键在于通过数值方法分割系统状态空间，然后逐层细化分析，最终捕捉到整体吸引子的结构。 第四章展示了剖分算法在分片光滑动力系统中的应用实例。首先，算法被成功地应用到了整体光滑型Heisenberg映射和Hénon映射中，证明了其在不同类型的动力系统中的适用性。接着，算法也被用于估计稳定流形，尽管这可能带来一些挑战，但文中提出了针对这些问题的改进意见。 最后，文章总结了主要发现和研究，讨论了未来可能的研究方向，同时列出了参考文献和致谢部分。总体而言，本论文不仅提供了计算分片光滑系统中不变流形剖分算法的具体实现方法，还对未来研究提出了有价值的思考和建议，对于理解分片光滑动力系统动力学行为具有重要意义。