数值积分：从蒙特卡洛到辛普森规则

"quadrature_variety.pdf" 这篇文档主要探讨了数值积分中的求积方法，特别是关于Simpson's规则及其应用。数值积分是计算一个函数在特定区间上的定积分值的一种数值方法，通常用于解决无法直接求解或解析积分过于复杂的场景。 **Simpson's规则** 是一种三次多项式插值为基础的数值积分方法，属于Newton-Cotes公式系列的一员。基本的Simpson's规则利用三次抛物线来近似函数，将一个区间分为三个部分，分别在端点和中点取值，并根据抛物线的性质进行积分。基本形式如下： \[ S(f, a, b) = \frac{b-a}{6} \left( f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right) \] 为了提高精度，可以将积分区间 `[a, b]` 分成 `n` 个更小的子区间，每个子区间应用Simpson's规则，使用 `(2n+1)` 个等距点。文档中的代码示例展示了如何在Matlab中实现这一过程，对函数 `hump()` 应用Simpson's规则进行积分： 1. 定义区间 `[a, b]`。 2. 设置子区间数量 `n`。 3. 使用 `linspace` 函数生成等距点。 4. 初始化积分估计 `q` 为0。 5. 对每个子区间应用Simpson's规则，累加到 `q`。 6. 最后，根据子区间的数量调整结果，得到最终的积分估计。 **其他常见的求积规则** 包括梯形法则（Trapezoidal Rule），它通过将函数曲线近似为直线段来估计积分。还有高斯积分（Gauss Quadrature），这是一种更高级的方法，它使用特定权重和节点来精确地匹配特定次数的多项式积分。 **随机抽样用于求积**，即蒙特卡洛积分（Monte Carlo Integration），是一种基于概率的数值积分技术。它通过在积分区域随机生成大量点，计算这些点下函数值的平均值，然后乘以区域的面积来估计积分。这种方法对于高维问题特别有用，因为即使简单的函数在多维空间中的积分也变得极其复杂。 **2D域上的积分估算** 可以通过分解成多个1D积分来处理，例如使用Simpson's规则或者其他的1D求积方法。对于有奇异性的函数（比如在某点有尖峰或不连续性），需要选择能够处理这种特性的求积方法，例如分段方法，或者使用特殊的加权规则。 **处理函数的不连续性** 在数值积分时是个挑战。对于具有跳跃或间断点的函数，可以选择分段方法，对每一段分别应用不同的积分规则，或者使用特殊的积分技术，如辛普森三重奏（Simpson's 3/8 Rule）或其他能更好地适应不连续性的规则。 数值积分是科学计算中的核心工具，不同的求积方法各有优缺点，适用于不同类型的函数和问题。理解并熟练运用这些方法对于解决实际问题至关重要。