分数阶微分方程的数值解法：广义Maxwell流体模型

"本文主要探讨了广义Maxwell流体分数阶微分方程的数值解法，通过建立隐式差分格式，实现了对这类复杂流体动力学问题的有效求解，并证明了所提出的数值方法在稳定性与收敛性方面的有效性。" 在粘弹性材料的研究领域，分数阶微分方程已经成为描述材料动态特性的强大工具。传统的整数阶模型往往无法精确捕捉到材料在初期松弛和蠕变过程中的行为，而分数阶模型则能更好地匹配实验数据，具有更高的预测精度。分数导数模型的出现，简化了参数确定的过程，使得模型能够适应更广泛的频率范围，这在化工、橡胶和塑料等高分子材料工程中显得尤为重要。 广义Maxwell模型作为一类常用的粘弹性模型，虽然能反映某些材料的力学性能，但其局限性在于适用范围有限，参数获取困难。因此，本文提出了一种针对广义Maxwell模型的隐式差分格式，旨在克服这些缺点，提供一个更为通用且规范的数值解法。这种差分格式不仅简化了参数获取，还能确保在计算过程中保持稳定，同时具备良好的收敛性。 分数阶微积分是实现这一目标的关键。通过推广经典的累次微分，引入非整数参数p，分数阶微积分能够以更精细的方式描述物理现象。论文中提及了K.S.Miller和B.Ross的序列分数阶微分概念，它允许我们将一阶微分扩展到任意阶，包括α阶（0<α<1）。利用不同的分数阶微分定义，如R-L、G-L或Caputo，可以构建出一系列的分数阶微分表达式，从而增强了模型的灵活性和适用性。 本文的核心贡献在于建立了一个适用于广义Maxwell流体分数阶微分方程的隐式差分格式，并对其稳定性与收敛性进行了严谨的数学证明。这一创新方法对于解决实际工程中的粘弹性问题提供了新的思路，有助于推动相关领域的数值模拟技术进步，提高预测和设计的准确性。