混合投影算法：均衡与三弱伪非扩映射的强收敛
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更新于2024-07-16
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本文由步尚全和蔡钢两位作者合作撰写，主要关注于Banach空间框架下的理论研究，特别是针对均衡问题和三个相对弱伪非扩张映射以及一个单调映射的混合迭代算法。"强收敛定理"是研究的核心，作者设计了一种新的混合投影算法，目的是为了找到这三个对象的公共解集：三个相对弱伪非扩张映射的公共不动点集合、均衡问题的解集合以及逆强单调算子的零解集合。这些映射在解决实际问题中具有广泛的应用，如优化、经济均衡分析等。
算法的引入突破了现有的一些研究成果，它通过巧妙地结合迭代策略，不仅提高了求解效率，还使得算法能够在复杂多变的数学模型中保持稳定性和有效性。在强收敛定理的证明过程中，作者对迭代步骤进行了严谨的设计，并假设了适当的条件，以确保算法收敛到所期望的公共解。
"相对弱伪非扩张映射"这一概念在此文中扮演了关键角色，它相较于传统的非扩张映射，允许一定程度的偏离，但依然保持了逼近固定点的能力。而"逆强单调算子"则强调了函数的单调性增强，这对于保证算法收敛性和优化问题的稳定性至关重要。
"均衡问题"是本文讨论的重要背景，它涉及资源分配、市场均衡等多种经济学和工程学中的基本问题，通过解决这类问题的迭代方法，有助于理解和优化复杂的系统动态。
关键词"强收敛定理"、"混合算法"、"均衡问题"、"单调算子"和"相对弱伪非扩张映射"直接反映了论文的核心内容和研究焦点，表明了作者对于理论分析和实际应用的兼顾。
这篇文章是一项重要的首发论文，不仅深化了对多目标优化问题的理解，也为后续的研究者提供了新的工具和思路，对于推动理论界和应用领域之间的交叉研究具有积极的推动作用。
˖ڍመڙጲ
http://www.paper.edu.cn
Suppose that A is monotone mapping from C into E
∗
. The variational inequality problem
is formulated as finding
a point u ∈ C such that ⟨v − u, Au⟩ ≥ 0 for all v ∈ C. (1.9)
The set of solutions of the variational inequality problem is denoted by V I(C, A). Variational
inequalities were initially studied by Kinderlehrer and Stampacchia[19] and ever since have
been widely studied. Such a problem is connected with the convex minimization problem, the
complementarity problem, the problem of finding a point u ∈ C satisfying V I(C, A). If E = H,
a Hilbert space, one method of solving a point u ∈ V I(C, A) is the projection algorithm which
starts with any point x
0
= x ∈ K and updates iteratively as x
n+1
according to the formula
x
n+1
= P
K
(x
n
− α
n
Ax
n
), for any n ≥ 1,
where P
K
is the metric projection from H onto K and {α
n
} is a sequence of positive real
numbers. In the case when A is α−inverse strongly monotone, Iiduka, Calabashi and Toyoda[20]
studied the following iterative scheme(see,e.g.,[21,22]).
x
0
∈ K chosen arbitrarily,
y
n
= P
K
(x
n
− α
n
Ax
n
)
C
n
= {z ∈ K : ∥y
n
− z∥ ≤ ∥x
n
− z∥} ,
Q
n
= {z ∈ K : ⟨x
n
− z, x
0
− x
n
⟩ ≥ 0} ,
x
n+1
= P
C
n
∩Q
n
(x
0
),
(1.10)
where {α
n
} is a sequence in [0, 2α]. They proved that the sequence {x
n
} generated by (1.10) con-
verges strongly to P
V I(K,A)
(x
0
), where P
V I(K,A)
is the metric projection from K onto V I(K, A)
.
In [23], H.zegeye, N.Shahzad studied the following iterative scheme for finding a fixed point
of relatively weak nonexpansive mapping T and a zero of monotone mapping A in a 2-uniformly
convex and uniformly smooth Banach space E:
x
0
∈ C chosen arbitrary,
y
n
= J
−1
(Jx
n
− α
n
Ax
n
),
z
n
= T y
n
,
H
0
= {v ∈ C : ϕ(v, z
0
) ≤ ϕ(v, y
0
) ≤ ϕ(v, x
0
)} ,
H
n
= {v ∈ H
n−1
∩ W
n−1
: ϕ(v, z
n
) ≤ ϕ(v, y
n
) ≤ ϕ(v, x
n
)} ,
W
0
= E,
W
n
= {v ∈ W
n−1
∩ H
n−1
: ⟨x
n
− v, Jx
0
− Jx
n
⟩ ≥ 0} ,
x
n+1
= Π
H
n
∩W
n
(x
0
),
(1.11)
where Π
H
n
∩W
n
is the generalized projection from E onto H
n
∩ W
n
, J is the duality mapping
from E into E
∗
and {α
n
} is a positive real sequence satisfying suitable conditions. Then the
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