命题逻辑详解：原子命题与复合命题的真值分析

PDF格式的数理逻辑讲义深入探讨了命题逻辑的基础理论，这是逻辑学中的一个重要分支，主要研究如何用符号和规则来表述和分析陈述的真伪。该讲义分为两大部分：命题逻辑和命题演算。 一、命题逻辑 1. 简单命题与复合命题：在命题逻辑中，一个命题是对某个事实或状态的判断，它可以是简单的，如"√3是有理数"，也可以是复合的，如"如果今天下雨，我就会带伞"。复合命题由命题联结词（如“且”、“或”、“非”）连接，如"p且q"表示p和q同时为真。 2. 命题公式与赋值：命题公式是用逻辑运算符组合的命题，如(p ∧ ¬q)。命题的真值表用于确定每个公式在所有可能的命题赋值下的真值。例如，对于p和q的二值系统（真和假），有四种可能的赋值组合，每一种都会得出相应的真值。 3. 等值演算：等值演算是研究两个命题公式是否逻辑上等价的过程。重要的等值式，如德摩根定律（¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q），阐述了复合命题的否定形式。 4. 命题联结词的完备集与极小完备集：完备集是指包含了所有可能的命题联结词集合，而极小完备集则是最小的完备集。通过等值演算可以证明某些联结词是必要的，如“或”和“且”。 5. 命题公式的范式：析取范式（DNF）和合取范式（CNF）是命题公式的一种标准形式，前者由单个命题或它们的析取组成，后者由单个命题或它们的合取组成。理解这两种形式有助于简化逻辑推理和证明。 二、原子命题与复合命题 原子命题是不能再分解为更简单命题的基本单位，如上述例子中的"√3是有理数"。复合命题是由一个或多个原子命题通过联结词构成，如"2是素数"虽然本身是原子命题，但在复合命题"2是素数或3是素数"中就成为了支命题。 课程还强调了命题真假的判断标准，即命题必须明确可判断真假，而非疑问、祈使或感叹句。此外，命题逻辑通常不涉及时间或技术上的不确定性，这些问题属于时态逻辑或直觉逻辑的研究范畴。 总结起来，PDF格式的数理逻辑讲义为学习者提供了一个严谨而系统的框架，帮助他们理解和运用命题逻辑的基本概念和规则，为后续的逻辑推理、论证和计算机科学中的逻辑编程打下坚实基础。