核回归与正则化：RKHS与Nadaraya-Watson方法解析

"正则化和RKHS-Kernel Method 核回归 核方法" 本文将深入探讨正则化和核方法在机器学习中的应用，特别是核回归作为一种非参数回归技术。正则化是通过添加惩罚项来防止模型过拟合的技术，而核方法则提供了一种在高维空间中进行非线性变换的手段，如核回归中的核技巧。 正则化是一种控制模型复杂度的方法，其核心思想是在优化目标函数中引入一个正则化项。这个正则化项通常是模型参数的某种度量，例如L1或L2范数，用于限制模型参数的大小，从而避免过拟合。在最简单的形式下，正则化可以添加到损失函数中，形成如下的优化问题： \[ \min_{\theta} \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} (f(x_i;\theta) - y_i)^2 + \lambda \Omega(\theta) \] 其中，\( f(x_i;\theta) \) 是预测函数，\( y_i \) 是真实值，\( \theta \) 是模型参数，\( \Omega(\theta) \) 是正则化项，\( \lambda \) 是正则化参数，用于平衡拟合数据与防止过拟合之间的权衡。 核方法，尤其是核回归，是一种非参数回归技术，它利用核函数 \( K(x,x') \) 来构建模型。核函数是一种将输入空间映射到高维特征空间的非线性变换，使得在特征空间中的线性模型在原始输入空间中表现为非线性模型。核回归的公式如下： \[ \hat{f}(x) = \sum_{i=1}^{n} w_i K(x_i, x) \] 其中，\( w_i \) 是权重，\( K(x_i, x) \) 是核函数，\( n \) 是训练样本的数量。Nadaraya-Watson核回归是核方法的一个具体例子，它使用加权平均的方式进行预测，权重由核函数决定，邻域的大小由核函数的带宽 \( h \) 控制。 核回归的关键在于核函数的选择，常见的核函数有高斯核（也称为径向基函数，RBF）、多项式核和Sigmoid核等。例如，高斯核定义为： \[ K(x, x') = \exp\left(-\frac{\|x-x'\|^2}{2\sigma^2}\right) \] 其中，\( \sigma \) 是高斯核的宽度，决定了邻域的大小。 核回归的证明过程中，可以看到通过核函数将输入数据映射到高维空间，然后在该空间中进行线性回归，从而避免了直接在原始输入空间进行非线性建模的复杂性。核方法的这种“隐式”高维转换使得我们可以处理非线性问题，而无需显式地知道高维空间的坐标。 总结来说，正则化和核方法是机器学习中的重要工具。正则化通过控制模型的复杂度防止过拟合，而核方法通过非线性映射使得在原始数据上无法解决的问题变得可能。核回归结合了两者的优势，提供了一种有效的非参数回归方案，尤其适用于处理非线性关系的数据。