小波分析与多分辨率：从Morlet到现代应用

"该资源是深圳大学信息工程学院的一份关于小波与多分辨率分析的课件，重点介绍了常见的连续小波变换，特别是Morlet小波。内容涵盖了小波分析的发展历程、应用领域以及相关软件工具。" 小波分析是一种在时间和频率上都能提供精细分析的数学工具，它结合了傅立叶变换和窗口函数的优点，既能进行频域分析，又能保持时间定位的准确性。在小波分析中，Morlet小波是一个重要的代表，它由一个复指数函数和余弦函数构成，具有良好的时频局部特性，适用于各种信号的分析。 Morlet小波的特点是非正交、非双正交且没有紧凑支撑，但其有效支持范围大约在[-4, 4]，具有对称性。这种小波在实际应用中，如地震信号分析等领域，能有效地揭示信号的局部特征和瞬态变化。 小波分析的历史发展可以从19世纪的傅立叶变换开始，历经Gabor变换、多速率滤波器组、Harr基、风暴伯格的小波函数改进，直至Morlet提出连续小波，以及Meyer、Grossmann、Daubecies等人提出的离散小波基。1987年，Mallat将多分辨率分析与小波变换相结合，提出了快速算法，使得小波分析在理论和实践上都得到了显著的进步。 小波分析的应用非常广泛，包括但不限于信号处理（如地震信号分析、语音信号处理）、图像处理（边缘检测、图像压缩）、模式识别、流体力学、电磁场分析、医学成像（如CT成像）以及机械故障诊断等。此外，小波分析还被应用于噪声分析、图像压缩技术（如小波包）以及量子物理等领域。 为了便于研究和应用，已经开发了许多小波分析软件包，如MathWorks的Wavelet Toolbox、Stanford的WaveTool、Yale的WPLab、MathSoft的S+WAVELETS、Aware的WaveTool和Rice的WaveletToolBox等，这些工具为科学家和工程师提供了强大的小波分析工具箱，简化了复杂信号的处理和分析工作。