平均间断有限元法：强超收敛性与Hamilton系统应用

"自然科学 论文" 本文探讨了平均间断有限元方法在解决常微分方程初值问题中的应用，特别是针对具有动量守恒的非线性Hamilton系统。文章详细介绍了平均间断有限元（Average Discontinuous Finite Element, ADFE）的概念，这是一种在时间和空间中进行离散的数值方法，它对于时间变量的处理方式能够降低对解的正则性的要求。 在平均间断有限元方法中，特别关注的是当k为偶数时的强超收敛性。作者李灿华和陈传淼证明了在节点上的平均通量，即间断有限元在节点上的左右极限的平均值，具有2k+2阶的最佳强超收敛性。这意味着即使在有限元空间中，解的质量也能接近于连续解的精度，从而提高了数值计算的准确性。 对于动量守恒的非线性Hamilton系统，如Schrödinger方程和Kepler系统，文章发现这种平均间断有限元方法在节点上能保持动量守恒这一关键特性。这是非常重要的，因为动量守恒是许多物理系统的基本定律。通过数值实验，这些理论性质得到了验证，进一步证明了平均间断有限元方法在处理这类问题时的有效性和适用性。 有限元方法通常用于空间离散化，尤其在解决椭圆和抛物型以及双曲型偏微分方程方面表现优秀。然而，对于时间离散，传统差分法常常受限于解的光滑性。平均间断有限元法提供了一种高阶超收敛的替代方案，降低了对解的光滑度要求，使得计算更加灵活且精确。 文章引用了前人的研究成果，指出近30年来在时间离散化方面的进展，尤其是连续和间断有限元方法的应用。文献回顾表明，高阶超收敛性是有限元方法的一个重要方向，因为它可以显著提高数值解的精度，而无需增加过多的计算复杂性。 总结而言，这篇2011年的论文详细阐述了平均间断有限元方法在常微分方程初值问题中的强超收敛性，并展示了其在保持动量守恒的非线性Hamilton系统中的应用。这些理论成果和数值实验结果为数值分析和计算物理学领域提供了有价值的工具和理论支持。