非周期Weierstrass函数的随机过程与流体刚体旋转运动的湍流稳定性

本资源涉及两个主要的主题，一是数学与物理中的随机过程分析，二是流体力学中的湍流理论。首先，关于随机过程部分，题目讨论了如何将连续不可微的Weierstrass函数转化为非周期的平稳随机过程。Weierstrass函数是一个经典的数学构造，其在实数集上具有无数的间断点，通过引入随机步长L，使得函数值在每次随机移动后改变，从而形成非周期性。作业要求学生计算这种随机过程的概率密度函数，并研究其二阶结构函数随尺度变化的双对数曲线。二阶结构函数描述了相距一定距离的两点处函数值差的平方的期望值，图1.1和图1.2展示了不同步长L下二阶结构函数的特征，表现出步长变化对函数特性的影响。 在流体力学部分，讨论的是旋转流体的稳定性质。在固壁包围、均质且不可压缩的黏性流体中，当容器绕固定轴做刚体旋转时，尽管容器内部的流体最终会跟随容器进行相对静止的刚体运动，但题目要求证明，即使雷诺数（Reynolds number，衡量流体流动惯性力与粘性力相对大小的参数）非常高，流体的这种整体旋转运动不会转变为湍流。这个结论依赖于对容器内流体受到的各种扰动（包括但不限于小扰动）的演化分析，以及对Navier-Stokes方程（N-S方程）的理解，该方程描述了流体的速度场、压力场和黏性效应。 总结来说，这份作业结合了数学随机过程和流体力学的复杂概念，要求学生不仅掌握Weierstrass函数的特性，还要运用到概率论和动力系统理论，以及理解流体动力学中的基本模型来分析问题。这是一项涉及理论建模、数值模拟和解析理解的任务，对学生综合能力有较高要求。