机器学习：线性回归、岭回归与Lasso回归解析

本文主要介绍了机器学习中的三种回归方法——线性回归、岭回归和Lasso回归，包括它们的基本概念、目标函数、优化方法以及在实际应用中的意义。 线性回归是一种基本的统计分析方法，它尝试通过一个线性函数来拟合数据，以最小化预测值与实际值之间的误差。在数学表达式中，如果有一个训练集包含m个样本，每个样本有n个特征，目标是找到一个线性函数f，使得预测值y尽可能接近真实值。线性回归的目标函数通常是最小化残差平方和，这可以通过梯度下降法或最小二乘法来求解。当数据维度n大于样本数m时，最小二乘法可能会遇到矩阵不可逆的问题，这时就需要引入正则化来解决。 岭回归是为了解决线性回归中矩阵不可逆的问题而提出的，它在原始线性回归的目标函数上添加了一个L2范数（即权重向量w的欧几里得范数的平方）的正则项。这不仅解决了矩阵可逆的问题，还能通过正则化减少过拟合的风险，使模型更具有泛化能力。岭回归的优化目标函数是带有L2正则化的形式，通过增加正则项的系数，可以调整模型的复杂度。 Lasso回归则使用L1范数（权重向量w的绝对值之和）作为正则项，它的优势在于能够实现特征选择，使得某些不重要的特征的权重变为0，从而达到稀疏化模型的效果。Lasso回归的优化过程可以看作是在约束条件下寻找函数等值线的交点，这个约束条件就是L1正则项。 概率解释方面，线性回归的损失函数可以用最小二乘法和高斯分布的概率解释。预测误差通常被认为服从均值为0、方差为σ的正态分布，通过最大似然估计来确定模型参数。岭回归和Lasso回归的引入也是基于同样的概率框架，但它们通过正则化控制了模型复杂度，防止了过拟合，增强了模型在未知数据上的表现能力。 总结来说，线性回归是基础，而岭回归和Lasso回归是在此基础上的改进，通过正则化技术提高了模型的稳定性和泛化性能。岭回归侧重于平滑参数，Lasso回归侧重于特征选择，两者都为解决高维数据问题提供了有效手段。在实际应用中，根据数据特性和任务需求，选择合适的回归方法至关重要。