数学建模与旅行售货员问题：寻找最均衡巡视路线

"数学建模简明教程 - 国家精品课程 - 第二章 图论模型" 本文档涉及的内容是数学建模，特别是图论在解决实际问题中的应用，特别是针对1998年全国大学生数学建模竞赛的一个案例——如何设计最佳灾情巡视路线。问题分为两部分：一是寻找三组巡视路线，总路程最短且各组尽可能均衡；二是确定最少分组数量，并给出相应最佳路线，同时考虑停留时间和汽车行驶速度。 首先，问题引入了图论的基本概念，将乡镇和村庄视为图的顶点，公路作为连接顶点的边，边的权重表示为公路的长度或行驶时间。由此，问题被转换为图论中的旅行售货员问题（Traveling Salesman Problem, TSP），这是一个著名的NP完全问题，意味着在复杂度上寻找精确解通常非常困难。 对于第一问，它是一个多旅行售货员问题的变种，需要解决三个旅行售货员如何规划路线，使得总路程最短且工作量分配均衡。均衡性在这里至关重要，因为它关系到每组的工作负担。文档中提到的解决方案是通过调整顶点的分配以改善均衡性，但具体的优化策略和计算方法并未详述。 第二问则涉及到在给定时间内完成巡视任务的最小分组数。这里引入了停留时间和行驶速度的限制，这意味着必须在24小时内完成全部行程，同时考虑到不同地点停留时间的不同。这进一步增加了问题的复杂性，可能需要运用更复杂的图论算法或者近似算法来寻找接近最优的解决方案。 在图论的基本概念部分，可能包括了以下几个要点： 1) 图的概念：由顶点和边构成的数据结构，用于描述对象之间的关系。 2) 赋权图：边带有特定值（如长度、权重等）的图。 3) 子图：原图中的一部分顶点和这些顶点间的所有边构成的图。 4) 图的矩阵表示：通过邻接矩阵或关联矩阵等数学工具，将图的信息转化为矩阵形式。 5) 顶点度：一个顶点拥有的边的数量，反映其与其他顶点的连接程度。 6) 路和连通性：路径是顶点序列，而连通图意味着图中的任意两个顶点都可以通过一系列边相连。 解决这类问题通常需要深入理解图论的理论，结合实际问题的特性，可能采用贪心算法、动态规划或者启发式方法来寻求近似解。在实际建模过程中，重要的是寻找能够有效处理大规模问题的算法，因为完全解可能过于复杂。在本案例中，可能需要对图进行聚类或划分，以优化组内的平衡性和整体的效率。