新预条件下的迭代法比较定理：(I+S1)与MGS方法的改进

本文《A comparison theorem for the iterative method with the new preconditioner (I + S1)》由赵景余、张玉新和张国锋等人撰写，发表于兰州大学数学与统计学院。作者在1991年Gunawardena等人关于修改后的Gauss-Seidel方法（带有预条件器(I+S)）的基础上，提出了一个新的预条件器(I+S1)，旨在改进迭代求解线性方程组的效率。 在研究中，作者首先回顾了Gauss-Seidel方法的基本概念，这是一种用于求解线性系统（1.1）的方法，其中矩阵A是n×n的方阵，x和b是n维向量。当A是非奇异的M矩阵时，这类方法在处理诸如周期边界条件下的椭圆方程等实际问题中具有广泛应用。 预条件器P的作用在于改善系统的条件数，使得迭代过程更易于收敛。在文章中，作者引入预条件器(I+S1)，这是一种新的策略，其目的是为了提高迭代方法的性能，特别是针对非对称线性系统。作者通过理论分析，证明了使用预条件器(I+S1)的迭代方法（1.2）相较于经典Gauss-Seidel方法（即使用预条件器(I+S)的情况）具有更好的比较性质。 作者进一步建立了新的迭代方法的比较定理，详细探讨了新预条件器的收敛性和稳定性，证明了新方法在特定条件下可以提供更快的收敛速度。为了支持理论分析，文中给出了简单的数值例子，这些例子直观地展示了新预条件器在实际问题中的优势，证实了新方法的有效性和优越性。 关键词包括：预条件化、Gauss-Seidel方法、收敛性，表明了文章主要关注的是线性代数中的预处理技术及其对求解线性系统性能的影响。此外，根据2000年的数学主题分类，文章还涉及到了65F10（迭代方法）和65F50（矩阵和算子的数值逼近）这两个领域。 这篇文章不仅提供了一个新的预条件器设计，而且还通过严格的理论分析和实际案例，论证了它在迭代求解线性方程组中的潜在优势，对于优化数值计算方法和理解预条件化在求解线性系统中的作用具有重要的学术价值。