牛顿-SOR迭代法：理论最佳松弛因子与求解算法

"牛顿-SOR迭代方法中最佳松弛因子的算法 (1995年) - 四川大学学报(自然科学版), Vol.32No.4, 李建宇黎素" 这篇1995年的论文关注的是非线性方程组的求解，特别是牛顿-SOR（Successive Over-Relaxation）迭代方法。非线性方程组的形式为 \( F(x) = 0 \)，其中 \( F \) 是非线性映射，\( R' \) 表示实向量空间。作者李建宇和黎素探讨了在特定条件下如何寻找牛顿-SOR迭代法的理想松弛因子 \( \omega \)。 牛顿-SOR迭代法是一种改进的牛顿法，它在牛顿法的基础上引入了松弛因子，以提高收敛速度。迭代公式如下： \[ x^{k+1} = x^k - \omega \left[I - \frac{1}{\omega} H(x^k, \omega)\right]^{-1} [D(x^k) - \omega L(x^k)]^{-1} F(x^k), \] 其中 \( D(x) \) 是F的雅可比矩阵的对角部分，\( L(x) \) 是其下三角部分，\( U(x) \) 是上三角部分，\( H(x, \omega) \) 是迭代矩阵，\( \omega > 0 \) 是松弛因子。 论文指出，选择最佳的松弛因子是牛顿-SOR迭代法的关键，因为它直接影响到算法的收敛速度和稳定性。作者在一定的假设下，理论上求得了最佳松弛因子，并提出了一种近似寻找最佳松弛因子的算法。他们证明，当矩阵 \( H(x^*, \omega) \) 的谱半径小于1时，迭代法会收敛，并给出了迭代法在该点的收敛因子。 论文引用了引理来证明当 \( \rho(H(x^*, \omega)) < 1 \) 且 \( \omega > 0 \) 时，\( x^* \) 是迭代法的一个吸引点。这里的 \( \rho(H(x^*, \omega)) \) 指的是矩阵 \( H(x^*, \omega) \) 的谱半径，\( R_1(\beta, x^*) \) 是迭代法在 \( x^* \) 处的局部收敛因子。 此外，作者还提到了矩阵 \( H(x^*, \omega) \) 与SOR迭代法在解线性方程组 \( F'(x^*)x = b \) 中的迭代矩阵之间的关系。这允许他们通过已有的线性代数理论来进一步分析牛顿-SOR迭代法的性质。 通过数值实验，论文展示了提出的近似最佳松弛因子算法的有效性，证实了这种方法在处理高维非线性方程组时的实用性。这篇论文为理解和优化牛顿-SOR迭代法提供了有价值的理论和实践指导，对于非线性方程组的求解具有重要意义。