理解支持向量机SMO算法及其优化

"本文详细介绍了支持向量机(SVM)中的SMO(Sequential Minimal Optimization)算法，这是一种用于训练SVM的快速优化算法，尤其适用于线性SVM和数据稀疏的情况。SMO算法由John C. Platt在1998年提出，其核心在于通过选取两对拉格朗日乘子进行优化，而不是尝试一次性优化所有参数。" 支持向量机(SVM)是一种强大的监督学习模型，广泛应用于分类和回归任务。在SVM的对偶形式中，求解问题涉及到寻找最优的拉格朗日乘子。SMO算法就是为了高效地解决这一优化问题而设计的。 SMO算法的核心思想是每次选择一对拉格朗日乘子α_i和α_j进行更新，同时保持其他所有α_k不变。这样，原问题转化为一个只包含两个变量的二次规划问题，可以通过解析方法求解。选择哪一对乘子进行更新，SMO采用了一种启发式策略，这一策略的具体实现可能因不同的SMO版本而异，但通常包括考虑违反KKT条件的程度、选择当前值接近边界或零的乘子等原则。 在SMO算法中，首先选择一对α_i和α_j，确保它们满足问题的约束条件。然后，固定其他所有α_k，将目标函数W表示为α_i和α_j的函数。通过求导找到W的极值，从而更新α_i和α_j。更新过程中，需要确保新的α值仍然满足KKT条件，即0≤α_i，α_j≤C，其中C是正则化参数。 当α_i和α_j的符号相反时，它们可以形成一条斜率为1的直线，更新规则相对简单。如果它们符号相同，更新规则会稍微复杂一些，但依然可以通过线性变换来处理。最后，通过迭代这一过程，直至所有拉格朗日乘子都达到满意的状态，算法结束。 SMO算法的效率来源于它仅需处理两个变量的优化问题，这比直接处理原始问题的n个变量大大减少了计算复杂度。此外，Platt的文章还介绍了一种寻找b值（支持向量机的偏置项）的公式，以及启发式搜索拉格朗日乘子对的策略，这些细节对于理解SMO算法的完整实现至关重要。 SMO算法是支持向量机训练的关键工具，它有效地解决了二次规划问题，使得大规模数据集上的SVM训练成为可能。通过对拉格朗日乘子的精心选择和迭代更新，SMO算法能够在保证优化效果的同时，保持较高的计算效率。