分位数回归与Wasserstein距离：Bernstein逼近在统计学习中的应用

"这篇文档详细探讨了数据回归中的两种方法，特别是基于1-正则化的分位数回归以及在Wasserstein距离下分布的Bernstein逼近。它首先介绍了分位数回归的优势，尤其是在处理异常值和非线性关系时的鲁棒性。文档通过数值实验验证了分位数回归相对于最小二乘回归的稳定性，并比较了不同正则化策略对回归误差和稀疏性的影响。接着，文档转向Wasserstein距离，这是一种在传统范数不适用时用于描述分布差异的工具。作者利用Bernstein逼近理论，针对一维分布问题，给出了在Lipschitz连续和更一般情况下分布逆函数的概率估计。" 正文: 本篇文献深入研究了统计学习领域的两个核心议题，分别是基于1-正则化的分位数回归和在Wasserstein距离下的概率分布Bernstein逼近。分位数回归作为一种非参数回归方法，其独特之处在于对异常值具有较强的鲁棒性，不依赖于对噪声的特定假设。1-正则化在分位数回归中的应用，旨在同时优化模型的预测能力和结构稀疏性。 文档详细阐述了1-正则化的分位数回归算法，并通过数值实验进行了验证。这些实验展示了分位数回归在处理噪声数据和异常值时相比最小二乘回归更具优势，其解决方案在保持较低回归误差的同时，能够获得更稀疏的模型结构。这在实际问题中具有重要意义，因为稀疏模型通常意味着更好的解释性和计算效率。 此外，文档还关注了在传统度量手段不足以描述概率分布差异时，如何利用Wasserstein距离进行分析。Wasserstein距离是一种衡量两个概率分布之间“距离”的方法，尤其适用于处理非凸或非光滑的分布。文献中，作者首先介绍了Wasserstein距离的基础概念，然后提出了在Lipschitz连续条件下分布逆函数的Bernstein逼近概率估计。这一理论不仅限于连续分布，而是进一步扩展到了具有有界逆函数的一般概率分布情况，这为理解和估计复杂分布提供了新的途径。 论文最后部分总结了研究的主要发现，并对未来的研究方向进行了展望。关键词涵盖了统计学习、分位数回归、正则化、Wasserstein距离和Bernstein逼近等关键概念，揭示了这些主题在现代数据分析中的重要性。通过该研究，读者可以深入理解分位数回归的鲁棒性和Wasserstein距离在概率分布分析中的应用，同时了解如何通过Bernstein逼近理论来估计和逼近复杂的概率分布。