离散时间序列傅里叶变换与小波分析：MATLAB实现

该资源主要涉及的是信号处理中的离散时间序列傅里叶变换和小波分析，并在MATLAB环境下进行实践。它强调了时域离散化对频域周期延拓的影响，以及时域非周期特性与频域连续性的关系。此外，还提到了学习这些内容所需的数学基础，包括线性代数、数字信号处理、泛函分析初步和MATLAB编程知识，同时也提及了数字图像处理。资源涵盖了线性空间、赋范空间和希尔伯特空间的概念，以及相关的范数和内积定义。 在信号处理中，离散时间傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform, DTFT）是将离散时间信号转换到连续频率域的关键工具。DTFT将一个无限长的离散序列转化为其对应的连续频谱，揭示了信号的频率成分。时域的离散化导致频域的周期性，这是因为离散信号在频域上表现为周期函数，每个周期包含了原始信号的所有频率信息。 小波分析是另一种信号处理方法，它提供了一种时频局部化的分析手段。小波函数具有时间和频率的局部特性，可以更精细地解析信号的瞬态特征。小波分析适用于非平稳信号的处理，因为它能够同时在时间和频率上对信号进行分析，而不仅仅是全局的傅里叶变换所能提供的单一频率视图。 线性空间是数学中的基本概念，它包含了加法和数乘运算的集合，如向量空间。在数字信号处理中，我们经常处理这种空间，例如在傅里叶变换中，信号可以被视为复数向量，它们构成了复数空间，是一个线性空间。 赋范空间是具有范数的线性空间，其中每个元素都有一个非负的长度或大小，即范数。这在信号处理中非常重要，因为范数可以用来衡量信号的强度或能量。例如，欧几里得空间中的向量范数就是我们熟悉的欧几里得距离。 希尔伯特空间是赋范空间的进一步推广，它是一个具有内积的线性空间，内积允许计算两个元素的“角度”并定义了空间中的正交性。在信号处理中，希尔伯特空间是处理复信号和构建正交基（如傅里叶基或小波基）的基础。 在MATLAB中，可以使用各种内置函数来实现这些理论概念，如进行傅里叶变换的`fft`函数，以及进行小波分析的`wavemesh`和`wavedec`等函数。通过这些工具，我们可以对实际的信号数据进行分析，提取出关键的时频特性，这对于故障检测、图像处理和其他许多工程应用至关重要。