完全正矩阵分解指数的特殊情形证明

"这篇论文是2002年9月发表在《安徽大学学报(自然科学版)》第26卷第3期的一篇研究完全正矩阵分解指数的专业文章，作者为XU Changqing和WU Qiu-yue。文章探讨了完全正矩阵的概念及其在数学中的应用，特别是关注于其分解指数，即CP-秩的性质。" 正文: 完全正矩阵是矩阵理论中的一个重要概念，它在优化、图论、量子物理和统计力学等多个领域有广泛的应用。一个n×n阶的非负矩阵A被认为是双非负的，当且仅当它同时是半正定的，即所有对角线元素非负且所有的主子式都是非负的。半正定性确保了矩阵A的所有特征值都是非负的，这在许多实际问题中是非常重要的性质。 如果一个双非负矩阵A可以表示为两个非负矩阵B的乘积A=BB'（B'表示B的转置），那么A被称为完全正矩阵。这里的B是一个n×m的非负矩阵，m称为A的分解指数或CP-秩。这个指数代表了将A分解为非负因子的最小维度。较小的CP-秩意味着更简洁的分解形式，这对于理解和计算具有这种结构的矩阵非常有利。 1994年，Drew、Johnson和Loewy提出了一个著名的猜想，即对于任意阶数为n的完全正矩阵，其分解指数不超过n-1。这篇论文的作者XU Changqing和WU Qiu-yue针对这个猜想进行了深入研究，并在特定情况下，即n=5和n=6时，证明了该猜想的正确性。 论文的核心内容在于对这些特殊情况下的完全正矩阵进行分析，找出它们的CP-秩，并展示如何构建满足条件的非负矩阵B。这些证明方法可能涉及矩阵的特征值分析、主子式的计算以及对半正定矩阵性质的深入理解。通过这些工作，作者为解决Drew-Johnson-Loewy猜想提供了一定的进展，同时也为今后的研究提供了新的视角和工具。 关键词包括：完全正矩阵、双非负矩阵、分解指数，这些标签清晰地指出了文章的主要研究内容。文献分类号（CLC number: OI51.21）和文章代码（Article ID:100-2162(2012)03-0010-05）则提供了该研究在学术领域的定位和引用信息。 这篇论文是矩阵理论和线性代数领域的专业研究，它对完全正矩阵的分解指数进行了深入探讨，并为Drew-Johnson-Loewy猜想的证明贡献了重要步骤。这样的研究对于深化我们对非负矩阵结构的理解，以及在相关应用领域如系统理论和控制理论中的优化问题有着重要的理论价值。