Hefferon的线性代数教程：简明易懂的自学习资源

线性代数是一门基础且应用广泛的数学分支，它研究向量空间、矩阵、线性变换和它们之间的关系。本教程由Jim Hefferon撰写，特别强调了英文版的学习方式，旨在使自学过程清晰易懂。以下是一些核心概念： 1. **向量空间** (Vector Spaces)：在数学中，向量空间是满足特定性质的一组对象集合，通常包括实数（R）、自然数（N）、复数（C）等。向量空间V中的元素（如向量⃗ v 和⃗ w）具有加法和标量乘法运算，以及零向量（⃗ 0V）的概念。 2. **基与标准基** (Bases and Standard Basis)：基（B）是一组线性无关且生成整个向量空间的向量集合。例如，在实数向量空间Rn中，标准基En由n个单位向量组成（⃗ e1, ⃗ e2, ..., ⃗ en）。 3. **向量表示** (Vector Representation)：任何向量⃗ v 可以通过其在给定基B下的系数矩阵（RepB(⃗ v)）来表示，这体现了向量在不同基之间的转换。 4. **矩阵** (Matrices)：矩阵用于表示线性变换，如矩阵H和G代表线性映射。矩阵的行和列对应于向量空间的维数，矩阵元素hi,j代表从第i行到第j列的映射。 5. **线性变换** (Linear Transformations)：t和s是线性变换或映射，它们将一个向量空间映射到另一个向量空间。例如，T和S是方阵，它们的行列式（|T|）是衡量其秩的重要指标。 6. **子空间与直和** (Subspaces and Direct Sum)：Mn×m表示n×m的矩阵集合，子空间是向量空间内的特定集合。M⊕N表示两个子空间的直接和，即这两个子空间中的向量组合在一起形成一个新的子空间。 7. **同构空间** (Isomorphic Spaces)：当两个向量空间在某种意义上可以相互替代，即存在一个一对一的映射使得它们的结构保持不变时，称它们是同构的。 8. **核与像** (Range and Null Space)：R(h)和N(h)分别指线性映射h的像和核，前者是映射作用后的所有可能结果集合，后者是不被映射到任何非零元素的向量集合。 9. **泛函分析概念** (Generalized Concepts)：R∞(h)和N∞(h)分别指代广义的像和核，用于处理无限维度的向量空间和映射。 10. **希腊字母符号** (Greek Alphabet)：文中使用的希腊字母，如α、β、γ等，通常用于表示变量、指数、元素或特定的数学概念，比如向量的分量或矩阵的行列式。 掌握这些概念有助于理解线性代数的基本理论和应用，无论是解决线性方程组、特征值问题，还是在数据科学、机器学习等领域，线性代数都是不可或缺的基础工具。