高精度有限差分法在VLSI热传导分析中的应用

"该文探讨了集成电路设计与制造中热传导分析的重要性和有限差分方法在解决此类问题中的应用。作者分析了VLSI电路的热扩散偏微分方程，涉及简单显式、简单隐式及Crank-Nicolson等二阶空间精度的数值方法，并提出了一种四阶空间精确的有限差分格式，以提高对PDE解的逼近精度。文章还介绍了对流边界条件的四阶精度近似，并利用块循环约简和分解算法求解基于PDE的系统。通过并行计算的分而治之策略，实现了高效解决热传导问题，实验结果显示这种方法在速度、内存需求和模拟精度方面优于传统方法。" 集成电路设计中的热传导分析是一个关键问题，随着VLSI电路功率和封装密度的提升，热效应对其性能和可靠性的影响日益显著。热传导通常用二阶偏微分方程来描述，其中包括温度分布T、扩散系数κ（由热导率K、密度ρ和比热c组成）等因素。在VLSI系统中，由于材料属性变化不大，常假设热导率K是恒定的。 为了解决复杂的热传导问题，研究者们发展了多种数值方法。这些方法包括一阶时间精度和二阶空间精度的显式和隐式方法，如简单显式和简单隐式格式，以及误差较小的Crank-Nicolson方法，其误差为TR=O[(t)^2, (x)^2, (y)^2, (z)^2]。然而，对于二维或三维问题，这些方法计算量大，因此有研究者提出了交替方向隐式(ADI)方法，如Peaceman和Rachford以及Douglas和Gunn的方法，以提高计算效率。 在本文中，作者不仅回顾了现有的有限差分方法，还提出了一种新的四阶空间精度的有限差分格式，这能更精确地逼近偏微分方程的解。同时，他们设计了对流边界条件的四阶精度近似，以增强边界处理的准确性。为了有效求解基于PDE的系统，他们采用了块循环约简和分解的数值稳定算法，处理带状矩阵和块三对角矩阵。更重要的是，他们引入了一种分而治之的并行计算策略，使得在并行处理器上进行高阶精细化方案的计算成为可能。实验结果表明，这种方法在速度、内存效率和模拟精度上都优于传统的数值方法，为热传导分析提供了新的优化解决方案。